Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2025

Independência de eventos mutuamente exclusivos

Gabarito: letra E (ERRADO). Os eventos A, B e C são mutuamente exclusivos (cada apólice cai em exatamente uma categoria), e eventos mutuamente exclusivos com probabilidades positivas são necessariamente dependentes — a ocorrência de um exclui a ocorrência dos outros, violando a condição de independência. A definição formal de independência exige que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, mas como $A \cap B = \emptyset$, temos $P(A \cap B) = 0$, enquanto $P(A) \cdot P(B) > 0$ (assumindo probabilidades positivas).

A questão explora a distinção fundamental entre mutuamente exclusivos e independentes. Eventos mutuamente exclusivos são aqueles que não podem ocorrer simultaneamente — a ocorrência de um implica a não ocorrência do outro. Já eventos independentes são aqueles em que a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro. A confusão surge porque muitos candidatos pensam que, por serem categorias distintas, os eventos são independentes — mas é exatamente o oposto: a exclusão mútua cria uma forte dependência.

A definição formal de independência para três eventos A, B e C exige que todas as combinações de interseções satisfaçam a regra do produto:

• $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

• $P(A \cap C) = P(A) \cdot P(C)$

• $P(B \cap C) = P(B) \cdot P(C)$

• $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$

No caso de eventos mutuamente exclusivos, $A \cap B = \emptyset$, então $P(A \cap B) = 0$. Para que fossem independentes, precisaríamos que $P(A) \cdot P(B) = 0$, o que só ocorreria se pelo menos um dos eventos tivesse probabilidade zero. Como o enunciado descreve uma categorização real de sinistros, as probabilidades são positivas, e a condição falha.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que os eventos A, B e C são mutuamente independentes. Isso é falso porque, sendo mutuamente exclusivos, a interseção de quaisquer dois deles é vazia, resultando em $P(A \cap B) = 0$, enquanto $P(A) \cdot P(B) > 0$. A condição de independência não é satisfeita. A ocorrência de um sinistro com culpa (A) exclui a possibilidade de sinistro sem culpa (B) ou ausência de sinistro (C) para a mesma apólice — há dependência total.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O item está errado porque os eventos A, B e C são mutuamente exclusivos, e eventos mutuamente exclusivos com probabilidades positivas são necessariamente dependentes. A definição de independência exige que a probabilidade da interseção seja igual ao produto das probabilidades, o que não ocorre aqui, pois a interseção é vazia. Portanto, a afirmação de que são mutuamente independentes é incorreta.

Gabarito: letra E (ERRADO).