Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce224856

Probabilidade com retirada sem reposição

Gabarito: letra B. A probabilidade de, em 4 retiradas sem reposição de uma máquina com 50 chicletes (5 sabores × 10 unidades), saírem exatamente 3 chicletes do mesmo sabor é $\frac{240}{2303}$ . O cálculo combina a escolha do sabor repetido, a posição do chiclete "diferente" e as probabilidades condicionais de cada retirada — não é uma simples distribuição binomial, pois as retiradas não são independentes (sem reposição).

O ponto central é perceber que o problema envolve retiradas sem reposição: a cada moeda inserida, o chiclete é retirado imediatamente, reduzindo o total disponível. Isso torna as probabilidades condicionais dependentes da retirada anterior, o que afasta o uso direto da distribuição binomial (que exige independência).

Vamos ao cálculo passo a passo:

Total de chicletes: 5 sabores × 10 unidades = 50 chicletes.
Evento desejado: em 4 retiradas, obter exatamente 3 chicletes de um mesmo sabor (e o 4º de sabor diferente).
Estratégia: escolher qual sabor se repete (5 opções), escolher em qual posição sai o chiclete diferente (4 posições), e multiplicar pelas probabilidades condicionais de cada retirada.

Cálculo detalhado:

Probabilidade de o 1º chiclete ser de um sabor qualquer: $\frac{50}{50} = 1$ .
Probabilidade de o 2º ser do mesmo sabor: restam 9 do mesmo sabor em 49 chicletes → $\frac{9}{49}$ .
Probabilidade de o 3º ser do mesmo sabor: restam 8 do mesmo sabor em 48 → $\frac{8}{48}$ .
Probabilidade de o 4º ser de sabor diferente: restam 40 chicletes de outros sabores em 47 → $\frac{40}{47}$ .

Multiplicando as probabilidades para uma ordem específica (ex.: sabor A, A, A, B):

1 \times \frac{9}{49} \times \frac{8}{48} \times \frac{40}{47} = \frac{9 \times 8 \times 40}{49 \times 48 \times 47} = \frac{2880}{110544}

Como o chiclete diferente pode estar em qualquer uma das 4 posições, multiplicamos por 4:

4 \times \frac{2880}{110544} = \frac{11520}{110544}

Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 48):

\frac{11520 \div 48}{110544 \div 48} = \frac{240}{2303}

Portanto, a probabilidade é $\frac{240}{2303}$ , que corresponde à letra B.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\frac{3}{490}$ é um distrator. Ele pode surgir de um cálculo que considera apenas uma ordem específica (sem multiplicar pelas 4 posições possíveis do chiclete diferente) ou que usa probabilidades incorretas. Por exemplo, se o aluno calculasse apenas a probabilidade de uma sequência fixa (A, A, A, B) sem multiplicar por 4, obteria $\frac{2880}{110544} \approx \frac{1}{38,38}$ , que não corresponde a $\frac{3}{490}$ . O erro está em não considerar as diferentes posições em que o chiclete de sabor diferente pode aparecer.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o cálculo correto é:

Escolher o sabor repetido: 5 opções (mas isso já está embutido na primeira retirada, que pode ser qualquer sabor).
Escolher a posição do chiclete diferente: 4 opções.
Multiplicar as probabilidades condicionais: $1 \times \frac{9}{49} \times \frac{8}{48} \times \frac{40}{47}$ .

Resultado: $4 \times \frac{2880}{110544} = \frac{11520}{110544} = \frac{240}{2303}$ . A fração já está na forma irredutível, pois 240 e 2303 não têm divisores comuns (2303 = 7 × 329 = 7 × 7 × 47, e 240 não é divisível por 7 nem por 47).

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\frac{12}{2303}$ é um distrator que pode resultar de um erro na contagem das posições ou na simplificação. Se o aluno esquecesse de multiplicar por 4 (considerando apenas uma ordem fixa), obteria $\frac{2880}{110544}$ , que simplificado por 240 resulta em $\frac{12}{2303}$ (pois $2880 \div 240 = 12$ e $110544 \div 240 = 460,6$ , o que não é inteiro — na verdade, $110544 \div 240 = 460,6$ , então essa simplificação não é válida). O erro está em não considerar as 4 posições possíveis para o chiclete diferente.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\frac{48}{2303}$ é outro distrator. Ele pode surgir de um cálculo que considera apenas 2 posições para o chiclete diferente (em vez de 4) ou que usa uma combinação incorreta de probabilidades. Por exemplo, se o aluno multiplicasse apenas por 2 (considerando que o chiclete diferente pode estar no início ou no fim), obteria $\frac{5760}{110544}$ , que simplificado por 120 resulta em $\frac{48}{2303}$ (pois $5760 \div 120 = 48$ e $110544 \div 120 = 921,2$ , o que não é inteiro — na verdade, $110544 \div 120 = 921,2$ , então essa simplificação também não é válida). O erro está na contagem incorreta das posições.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\frac{60}{2303}$ é um distrator que pode resultar de um erro na multiplicação das probabilidades ou na simplificação. Por exemplo, se o aluno calculasse a probabilidade de uma sequência específica como $\frac{9}{49} \times \frac{8}{48} \times \frac{40}{47} \times \frac{1}{1}$ (sem considerar a primeira retirada como certa) e multiplicasse por 4, obteria o mesmo resultado da correta. Mas se houvesse um erro na simplificação, como dividir por 192 em vez de 48, chegaria a $\frac{60}{2303}$ (pois $11520 \div 192 = 60$ e $110544 \div 192 = 575,75$ , o que não é inteiro — na verdade, $110544 \div 192 = 575,75$ , então essa simplificação não é válida). O erro está na simplificação incorreta da fração.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre retirada com reposição (onde a distribuição binomial se aplica) e retirada sem reposição (onde as probabilidades mudam a cada retirada). O candidato que tenta usar a fórmula binomial $P(X=k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ com $p = \frac{1}{5}$ comete um erro grave, pois as retiradas não são independentes. Além disso, é fácil esquecer de multiplicar pelas 4 posições possíveis do chiclete diferente, o que leva a um dos distratores. Fique atento: quando o problema diz "retirado imediatamente", significa sem reposição — e aí a probabilidade é condicional, não binomial.

PEGA ESSA DICA!

Para problemas de retirada sem reposição, monte a árvore de probabilidades condicionais passo a passo. Identifique primeiro o total de elementos (50), depois quantos restam de cada tipo a cada retirada. Se o evento envolve "exatamente k de um tipo", lembre-se de multiplicar pelo número de posições em que o elemento diferente pode aparecer. Uma tabela ajuda a organizar:

Retirada	Sabor repetido	Sabor diferente
1ª	10/50	40/50
2ª	9/49	40/49
3ª	8/48	40/48
4ª	7/47	39/47

Gabarito: letra B — a probabilidade é $\frac{240}{2303}$ .