Questão de Matemática — Geometria Plana — CESPE / CEBRASPE 2025

Distância entre ponto de tangência e centro de circunferência tangente

Gabarito: letra E (√17 cm). A distância entre o ponto P (tangência da reta r com a circunferência A) e o centro da circunferência B é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 4 cm (raio de A) e 1 cm (raio de B), resultando em √(4² + 1²) = √17 cm. A construção geométrica é a chave: os centros das circunferências e os pontos de tangência formam um triângulo retângulo, e o Teorema de Pitágoras resolve.

Vamos entender a situação. Temos duas circunferências tangentes entre si — como não foi especificado se a tangência é interna ou externa, e a resposta é única, a configuração que permite resolver é a tangência externa, que é o caso mais comum e o que a banca considera. A reta r é tangente a ambas as circunferências, tocando a circunferência A no ponto P e a circunferência B no ponto Q. Como a reta é tangente, o raio de cada circunferência no ponto de tangência é perpendicular à reta r. Assim, os centros das circunferências (vamos chamá-los de O_A e O_B) estão a uma distância de 4 cm e 1 cm da reta r, respectivamente, e os segmentos O_A P e O_B Q são perpendiculares a r.

A distância entre os centros O_A e O_B é a soma dos raios, pois as circunferências são tangentes externamente: 4 cm + 1 cm = 5 cm. Agora, observe o triângulo formado pelos pontos O_A, O_B e P. O segmento O_A P mede 4 cm (raio de A). O segmento O_B P é o que queremos calcular. O ângulo entre O_A P e a reta r é de 90°, e o ângulo entre O_B Q e a reta r também é de 90°. Como P e Q estão na mesma reta r, a distância entre P e Q é a diferença entre as projeções horizontais dos centros sobre a reta. Mas há uma relação mais direta: o triângulo O_A P O_B é retângulo em P? Não exatamente, mas podemos construir um triângulo retângulo auxiliar.

Vamos traçar uma reta paralela a r passando por O_B. Essa reta encontra o segmento O_A P (ou seu prolongamento) em um ponto R. Como O_A P é perpendicular a r, e a paralela a r é perpendicular a O_A P, o triângulo O_A R O_B é retângulo em R. O segmento O_A R mede a diferença entre os raios: 4 cm − 1 cm = 3 cm. O segmento R O_B é paralelo a r e mede a distância entre as projeções dos centros sobre r, que é a distância entre P e Q. Mas não precisamos dela diretamente: a distância entre os centros O_A O_B é 5 cm (soma dos raios). No triângulo retângulo O_A R O_B, temos:

• O_A O_B = 5 cm (hipotenusa)

• O_A R = 3 cm (cateto)

• R O_B = ? (outro cateto)

Por Pitágoras: R O_B = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4 cm. Esse é o deslocamento horizontal entre os centros.

Agora, para achar O_B P, considere o triângulo O_A P O_B. O segmento O_A P = 4 cm (raio de A). O segmento O_A O_B = 5 cm. O ângulo entre O_A P e O_A O_B? Não é reto. Mas podemos usar o triângulo retângulo auxiliar: o ponto R está sobre O_A P, a 3 cm de O_A (pois O_A R = 3 cm). Então R P = O_A P − O_A R = 4 − 3 = 1 cm. E R O_B = 4 cm. O triângulo R P O_B é retângulo em R, com catetos R P = 1 cm e R O_B = 4 cm. Portanto, a hipotenusa O_B P = √(1² + 4²) = √(1 + 16) = √17 cm.

Essa é a distância pedida. A pegadinha está em tentar usar diretamente a distância entre os centros (5 cm) ou a diferença dos raios (3 cm) sem construir o triângulo retângulo correto. O candidato que responde 5 cm (letra C) esquece que o ponto P não está alinhado com os centros; o que está alinhado é a projeção. A resposta √17 cm surge da combinação da diferença de raios (3 cm) com a distância horizontal entre os centros (4 cm), mas o triângulo que contém P tem catetos 1 cm e 4 cm.

Alternativa A — ❌ Incorreta

3 cm é a diferença entre os raios (4 − 1). Esse valor é o cateto vertical do triângulo auxiliar, não a distância pedida. O candidato que subtrai os raios e acha que essa é a resposta comete o erro de ignorar a geometria da tangência.

Alternativa B — ❌ Incorreta

4 cm é o raio da circunferência A. Também é o comprimento do cateto horizontal do triângulo auxiliar (R O_B), mas não é a distância entre P e o centro de B. Confundir o raio com a distância procurada é um distrator comum.

Alternativa C — ❌ Incorreta

5 cm é a distância entre os centros das circunferências (soma dos raios). Muitos candidatos marcam essa opção por ser a distância mais óbvia, mas o ponto P não está sobre a linha dos centros; a distância de P ao centro de B é menor que 5 cm.

Alternativa D — ❌ Incorreta

4√2 cm seria o resultado se os catetos fossem 4 e 4 (√(4²+4²) = √32 = 4√2). Mas aqui os catetos do triângulo que contém P são 1 e 4, não 4 e 4. Esse distrator explora o erro de considerar o raio de A como os dois catetos.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

√17 cm é exatamente √(1² + 4²), onde 1 cm é a diferença entre os raios (4 − 1) e 4 cm é a distância horizontal entre os centros (calculada por Pitágoras no triângulo auxiliar). A construção correta leva a esse valor.

Gabarito: letra E