Questão de Matemática — Números Complexos — CESPE / CEBRASPE 2026

Números Complexos: origem histórica

Gabarito: letra E. Os números complexos surgiram da necessidade de resolver equações do terceiro grau (cúbicas), como a fórmula de Cardano-Tartaglia, que exigia lidar com raízes quadradas de números negativos em certos casos. As equações do segundo grau, embora também pudessem apresentar discriminante negativo, eram tratadas como "sem solução" e não motivaram a criação dos complexos.

A história dos números complexos é um dos capítulos mais fascinantes da matemática. No século XVI, matemáticos italianos como Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia e Gerolamo Cardano desenvolveram métodos algébricos para resolver equações cúbicas (do tipo $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$). A fórmula de Cardano, publicada em 1545 na obra Ars Magna, envolvia a extração de raízes quadradas de números negativos em situações em que a equação tinha três raízes reais (o chamado casus irreducibilis).

Por exemplo, ao resolver a equação $x^3 = 15x + 4$, a fórmula de Cardano produzia expressões como $\sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}}$, que envolviam $\sqrt{-121}$, um número que não existe nos reais. Bombelli, em 1572, foi o primeiro a operar formalmente com essas "quantidades imaginárias", mostrando que elas se cancelavam e produziam a raiz real $x = 4$. Foi exatamente essa necessidade prática — resolver equações cúbicas — que forçou a ampliação do conjunto dos números reais para o conjunto dos números complexos.

As equações do segundo grau, por outro lado, já eram conhecidas desde a antiguidade (babilônios, gregos, árabes). Quando o discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) era negativo, os matemáticos simplesmente diziam que a equação "não tinha solução real", sem sentir necessidade de criar novos números. A motivação veio das cúbicas, onde a impossibilidade aparente era um obstáculo concreto para um método que, em tese, deveria funcionar.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Equações logarítmicas envolvem logaritmos (ex.: $\log_2(x+1) = 3$). Historicamente, os logaritmos foram inventados por Napier no século XVII, muito depois dos complexos, e não têm relação com a origem deles. Além disso, logaritmos de números negativos não são definidos nos reais, mas isso não motivou a criação dos complexos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Equações exponenciais (ex.: $2^x = 8$) também não têm vínculo histórico com a criação dos complexos. A função exponencial e sua relação com os complexos (fórmula de Euler, $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$) só foi desenvolvida no século XVIII, muito depois da origem dos complexos no século XVI.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Equações lineares (do primeiro grau, $ax + b = 0$) sempre tiveram solução nos reais (exceto $a=0$ com $b\neq0$, caso sem solução, mas não motivou nada). Não há qualquer relação com a criação dos complexos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta é a pegadinha clássica. Muitos candidatos associam os complexos ao discriminante negativo das equações do segundo grau ($\Delta < 0$), pois é lá que se introduz $i = \sqrt{-1}$ no ensino básico. Porém, historicamente, as equações quadráticas com $\Delta < 0$ eram simplesmente descartadas como "sem solução" — não havia um problema prático que exigisse resolvê-las. A motivação real veio das cúbicas, como explicado acima.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

As equações do terceiro grau (cúbicas) foram o motor histórico. A fórmula de Cardano, ao lidar com o casus irreducibilis, exigia operar com raízes de números negativos, o que levou Bombelli e outros a desenvolverem os números complexos. É o fato histórico documentado.

Gabarito: letra E