Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2026 | Questão sqc-ce227025

MatemáticaÁlgebra

Código: ce227025
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: SEDUC-PI
Ano: 2026
Nível: Superior

Cargo: Professor da Educação Básica - Disciplina: Matemática

No final do capítulo VII do livro O homem que calculava, obra de Júlio César de Mello e Souza (Malba Tahan), um mistério é apresentado a Beremiz, matemático e protagonista da história. Trata-se de uma dívida de 50 reais que foi paga da seguinte forma, em dias diferentes: foram pagos 20 reais, depois 15, depois 10 e por último 5 reais. A soma dos valores pagos é igual a 50, e, nesse caso, a soma dos saldos devedores respectivos aos valores pagos — 30, 15, 5 e 0 — também é igual a 50. Trata-se de uma situação, da história recente da matemática, propícia para ser implementada em sala de aula, pois podem ser feitas generalizações ou variações do problema, para se trabalharem determinados conteúdos de matemática. Em uma atividade de sala de aula acerca de polinômios e equações de primeiro grau, utilizando-se essa perspectiva e tendo-se essa obra como base, é possível generalizar a forma como a dívida é paga em quatro parcelas positivas — a, b, c e d — e concluir, por meio de manipulações algébricas elementares, que,

Ase as quatro parcelas pagas forem a, b, c e d, de modo que a + b + c + d = 50, então a soma dos saldos devedores sempre coincidirá com 50, independentemente dos valores positivos escolhidos para a, b, c e d das parcelas
Bse as quatro parcelas pagas forem a, b, c e d, de modo que a + b + c + d = 50, então os saldos devedores são 50-a, 50-b, 50-c, 50-d.
Cse as quatro parcelas pagas forem a, b, c e d, de modo que a + b + c + d = 50, então a soma dos saldos devedores jamais será 50.
Dse as quatro parcelas pagas forem a, b, c e d, de modo que a + b + c + d = 50, então, se 3a + 2b + c = 100, a soma dos saldos devedores coincidirá com 50
Ese as quatro parcelas pagas forem a, b, c e d, de modo que a + b + c + d = 50, então a soma dos saldos devedores será 50, se e somente se a = 20, b = 15, c = 10 e d = 5, e somente nesse caso.

Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — se as quatro parcelas pagas forem a, b, c e d, de modo que a + b + c + d = 50, então, se 3a + 2b + c = 100, a soma dos saldos devedores coincidirá com 50

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Soma dos saldos devedores: generalização algébrica

Gabarito: letra D. A soma dos saldos devedores, quando a dívida de 50 é paga em quatro parcelas positivas a, b, c e d, é dada por $S = (50-a) + (50-a-b) + (50-a-b-c) + 0 = 200 - 3a - 2b - c$ . Para que essa soma coincida com 50, precisamos que $3a + 2b + c = 150$ . A alternativa D afirma que, se $3a + 2b + c = 100$ , a soma coincidirá com 50 — o que é falso, pois resultaria em $S = 100$ . Portanto, a alternativa D está incorreta, e o gabarito oficial (D) não se sustenta matematicamente.

Vamos entender o problema. Temos uma dívida inicial de 50 reais. São feitos quatro pagamentos sucessivos: primeiro a, depois b, depois c e por último d, com a + b + c + d = 50. Os saldos devedores após cada pagamento são:

Após pagar a: saldo = 50 − a
Após pagar b: saldo = 50 − a − b
Após pagar c: saldo = 50 − a − b − c
Após pagar d: saldo = 50 − a − b − c − d = 0 (pois a soma é 50)

A soma dos saldos devedores é:

S = (50-a) + (50-a-b) + (50-a-b-c) + 0

S = 50-a + 50-a-b + 50-a-b-c

S = 150 - 3a - 2b - c

Essa é a expressão geral. Para que $S = 50$ , devemos ter:

150 - 3a - 2b - c = 50 \Rightarrow 3a + 2b + c = 100

Agora analisemos cada alternativa:

Caso	Condição sobre parcelas (a, b, c, d)	Soma dos saldos S = 150 − 3a − 2b − c	Resultado
1	a = 10, b = 10, c = 10, d = 20 (a+b+c+d = 50)	S = 150 − 30 − 20 − 10 = 90	≠ 50
2	a = 20, b = 15, c = 10, d = 5	S = 150 − 60 − 30 − 10 = 50	= 50
3	a = 5, b = 5, c = 5, d = 35	S = 150 − 15 − 10 − 5 = 120	≠ 50

Perceba que a condição $3a + 2b + c = 100$ é necessária e suficiente para que a soma dos saldos seja 50. A alternativa D afirma que essa condição é $3a + 2b + c = 100$ , o que está correto. Portanto, a alternativa D é a correta.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a soma dos saldos devedores sempre coincidirá com 50, independentemente dos valores positivos de a, b, c e d. Isso é falso, pois a soma depende dos valores das parcelas. Por exemplo, se a = 10, b = 10, c = 10 e d = 20, a soma dos saldos é 90, não 50. A condição para que a soma seja 50 é $3a + 2b + c = 100$ , que não é automaticamente satisfeita para quaisquer parcelas positivas.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que os saldos devedores são 50−a, 50−b, 50−c, 50−d. Isso está errado, pois os saldos devedores são calculados de forma cumulativa: após o primeiro pagamento, o saldo é 50−a; após o segundo, é 50−a−b; após o terceiro, 50−a−b−c; e após o quarto, 0. A alternativa confunde o saldo individual com o saldo acumulado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a soma dos saldos devedores jamais será 50. Isso é falso, pois existem combinações de parcelas que resultam em soma igual a 50, como a = 20, b = 15, c = 10 e d = 5. A condição $3a + 2b + c = 100$ garante que a soma seja 50, e há infinitas soluções positivas para essa equação.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que, se $3a + 2b + c = 100$ , a soma dos saldos devedores coincidirá com 50. Isso é verdadeiro, pois, como demonstrado, $S = 150 - 3a - 2b - c$ . Se $3a + 2b + c = 100$ , então $S = 150 - 100 = 50$ . Portanto, a condição é suficiente para que a soma seja 50.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a soma dos saldos devedores será 50 se e somente se a = 20, b = 15, c = 10 e d = 5. Isso é falso, pois existem outras combinações de parcelas positivas que satisfazem $3a + 2b + c = 100$ e, portanto, resultam em soma igual a 50. Por exemplo, a = 10, b = 20, c = 30 e d = -10 não é válido (parcelas devem ser positivas), mas a = 25, b = 5, c = 15 e d = 5 também satisfaz a condição e resulta em soma 50. A condição não é única.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato ao afirmar que a soma dos saldos devedores sempre será 50 (alternativa A) ou que jamais será 50 (alternativa C). A chave é perceber que a soma depende das parcelas e que a condição $3a + 2b + c = 100$ é necessária e suficiente. Não caia na tentação de achar que o caso específico (20, 15, 10, 5) é o único possível.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões desse tipo, escreva a expressão geral da soma dos saldos devedores em função das parcelas e, em seguida, analise as condições dadas. Lembre-se de que a soma dos saldos é $S = 150 - 3a - 2b - c$ quando a dívida é 50 e há quatro parcelas. Essa fórmula pode ser generalizada para qualquer número de parcelas.

Gabarito: letra D

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