Professor da Educação Básica - Disciplina: Matemática
O clássico livro Os elementos reuniu grande parte dos conhecimentos de geometria, teoria dos números e de outros assuntos de matemática acumulados até aproximadamente 300 a.C. Seu autor, Euclides, inicia o livro com alguns axiomas e postulados. Destes, o quinto postulado de Euclides tornou-se muito importante para a história da matemática, dado que numerosos matemáticos tentaram, em vão, prová-lo ao longo das décadas, pois seu enunciado não é tão natural quanto os dos primeiros quatro postulados. O quinto postulado, que foi também, posteriormente, responsável pelo desenvolvimento das geometrias não-euclidianas,
Aencontra as geodésicas na esfera, por meio das retas que passam por algum ponto em sua superfície.
Btraça o círculo, quando são dados um centro e um raio fixados.
Cversa sobre a intersecção de retas cortadas por transversal, a depender dos ângulos que elas fazem com a transversal.
Dmostra os casos de semelhança de triângulos.
Ecalcula áreas de polígonos convexos a partir da subdivisão em triângulos.
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GabaritoC — versa sobre a intersecção de retas cortadas por transversal, a depender dos ângulos que elas fazem com a transversal.
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SE LIGUE NESSA!
Esta questão depende de um texto-base que não está disponível aqui; o raciocínio abaixo é o método — confira os dados no enunciado original.
O quinto postulado de Euclides e as geometrias não euclidianas
Gabarito: letra C. O quinto postulado de Euclides trata da intersecção de retas cortadas por uma transversal, condicionada aos ângulos que elas formam com essa transversal — exatamente o que a alternativa C descreve. As demais alternativas referem-se a outros postulados ou a conteúdos geométricos distintos.
O quinto postulado, também chamado de postulado das paralelas, é o mais famoso dos postulados de Euclides justamente por seu enunciado menos intuitivo e por ter sido alvo de tentativas frustradas de demonstração durante séculos. Sua formulação clássica afirma que, se uma reta transversal corta duas outras retas de modo que a soma dos ângulos internos de um mesmo lado seja menor que dois ângulos retos, então essas duas retas, prolongadas indefinidamente, encontram-se desse lado. Essa é a essência da alternativa C.
A importância histórica do postulado está em que, ao se negar ou modificar essa afirmação, surgem as geometrias não euclidianas: a geometria hiperbólica (onde por um ponto passam infinitas paralelas a uma reta dada) e a geometria elíptica (onde não existem paralelas, como na superfície de uma esfera). Assim, o postulado das paralelas é o divisor de águas entre a geometria euclidiana e as demais.
A banca explora a confusão entre os cinco postulados de Euclides. Veja o que cada um estabelece:
Postulado
Conteúdo
1º
Dados dois pontos distintos, há um único segmento de reta que os une
2º
Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta
3º
Dados um ponto e uma distância, pode-se construir uma circunferência com centro naquele ponto e raio igual à distância
4º
Todos os ângulos retos são congruentes
5º
Se duas retas cortadas por uma transversal formam ângulos internos de um mesmo lado cuja soma é menor que dois retos, elas se encontram desse lado
Alternativa A — ❌ Incorreta
A alternativa A fala em "encontrar as geodésicas na esfera, por meio das retas que passam por algum ponto em sua superfície". Isso se relaciona à geometria elíptica (não euclidiana), na qual as "retas" são os grandes círculos da esfera (geodésicas). Não é o conteúdo do quinto postulado, que trata de retas em um plano e de sua intersecção condicionada a ângulos. A banca mistura o postulado com uma consequência das geometrias não euclidianas.
Alternativa B — ❌ Incorreta
A alternativa B descreve o terceiro postulado: "traça o círculo, quando são dados um centro e um raio fixados". É exatamente o que o terceiro postulado estabelece — construir uma circunferência com centro e raio dados. Portanto, não corresponde ao quinto postulado.
Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A alternativa C afirma que o quinto postulado "versa sobre a intersecção de retas cortadas por transversal, a depender dos ângulos que elas fazem com a transversal". Isso é precisamente o conteúdo do postulado das paralelas: a condição para que duas retas se intersectem é dada pela soma dos ângulos internos formados com a transversal. É a única alternativa que descreve corretamente o quinto postulado.
Alternativa D — ❌ Incorreta
A alternativa D menciona "os casos de semelhança de triângulos". A semelhança de triângulos é um teorema da geometria euclidiana, não um postulado. Não corresponde ao quinto postulado.
Alternativa E — ❌ Incorreta
A alternativa E fala em "calcular áreas de polígonos convexos a partir da subdivisão em triângulos". Isso é um método de cálculo de área, não um postulado. Não tem relação com o quinto postulado.
NÃO CAIA NESSA!
A banca tenta confundir o candidato misturando os postulados de Euclides com outros conteúdos geométricos. A alternativa B é o terceiro postulado (circunferência), e a alternativa A remete à geometria elíptica (geodésicas na esfera), que é uma consequência da negação do quinto postulado, não o postulado em si. Fique atento: o quinto postulado é sempre sobre retas, transversal e ângulos — nunca sobre círculos, triângulos ou áreas.
PEGA ESSA DICA!
Para memorizar os cinco postulados, associe cada um a uma imagem mental: 1º — dois pontos e um segmento; 2º — prolongar a reta; 3º — compasso traçando círculo; 4º — ângulos retos iguais; 5º — duas retas que se encontram por causa de ângulos menores que dois retos. Na prova, ao ver "quinto postulado", pense imediatamente em "retas cortadas por transversal e ângulos".