Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2026 | Questão sqc-ce227033

Números Complexos: operações e propriedades

Gabarito: letra D — corretos os itens I e II. O item I está certo porque, para que o produto $z_1 \times z_2$ seja imaginário puro, basta que a parte real do produto seja nula, ou seja, $ac - bd = 0$ . O item II está certo porque, se $z_1 + z_2$ e $z_1 - z_2$ são ambos reais, então as partes imaginárias se cancelam, resultando em $b + d = 0$ e $b - d = 0$ , o que implica $b = d = 0$ ou $b = -d$ . O item III está errado, pois a igualdade $z_1 = z_2$ exige $a = c$ e $b = d$ , e não $b = -d$ com $a \neq c$ .

A questão explora as operações fundamentais com números complexos na forma algébrica $z = a + bi$ , onde $a$ é a parte real e $b$ é a parte imaginária. A banca testa se o candidato domina a multiplicação, a adição/subtração e a condição de igualdade entre complexos. Vamos analisar cada item com o devido rigor.

Item	Condição analisada	Resultado
I	`ac − bd = 0` → parte real de `z₁ × z₂` nula	✅ Correto
II	`b + d = 0` e `b − d = 0` → `b = d = 0` (ou `b = −d` como condição parcial)	✅ Correto
III	`z₁ = z₂` exige `a = c` e `b = d`; item afirma `b = −d` e `a ≠ c`	❌ Incorreto

Item I — ✅ Correto

Para multiplicar dois números complexos, aplicamos a propriedade distributiva e substituímos $i^2$ por $-1$ . Assim:

z_1 \times z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

A parte real do produto é $ac - bd$ e a parte imaginária é $ad + bc$ . Para que o produto seja um imaginário puro, a parte real deve ser nula, ou seja, $ac - bd = 0$ . Isso é exatamente o que o item afirma. Portanto, o item I está correto.

Item II — ✅ Correto

Vamos calcular a soma e a diferença:

z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i

z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i

Para que ambos sejam números reais, as partes imaginárias devem ser nulas:

b + d = 0 \quad \text{e} \quad b - d = 0

Resolvendo o sistema, temos $b = 0$ e $d = 0$ . Portanto, a condição $b = d = 0$ é necessária e suficiente. A alternativa também menciona $b = -d$ , que é uma condição mais fraca (apenas $b + d = 0$ ), mas como a condição forte $b = d = 0$ implica $b = -d$ , a afirmação " $b = d = 0$ ou $b = -d$ " é verdadeira. O item II está correto.

Item III — ❌ Incorreto

A igualdade de números complexos é definida pela igualdade das partes reais e das partes imaginárias. Dois números complexos $z_1 = a + bi$ e $z_2 = c + di$ são iguais se e somente se $a = c$ e $b = d$ . O item afirma que $z_1 = z_2$ implica $b = -d$ e $a \neq c$ , o que é exatamente o oposto. Portanto, o item III está incorreto.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que nenhum item está certo. Como os itens I e II estão corretos, esta alternativa é falsa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que apenas o item II está certo. Como o item I também está correto, esta alternativa é falsa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que apenas o item III está certo. Como o item III está incorreto e os itens I e II estão corretos, esta alternativa é falsa.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que apenas os itens I e II estão certos. Como demonstrado, os itens I e II estão corretos e o item III está incorreto, esta é a alternativa correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que apenas os itens I e III estão certos. Como o item III está incorreto, esta alternativa é falsa.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir a condição de igualdade de números complexos com a condição de conjugado. No conjugado, $z = a + bi$ e $\bar{z} = a - bi$ , as partes imaginárias são opostas ( $b = -d$ ). Mas na igualdade, as partes devem ser iguais ( $b = d$ ). Fique atento a essa distinção!

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões de números complexos, sempre escreva o número na forma $z = a + bi$ e aplique as operações algébricas. Lembre-se de que $i^2 = -1$ e que a igualdade exige igualdade das partes real e imaginária.

Gabarito: letra D