GabaritoE — x + 3y = 7.
Gabarito: letra E. A reta que passa pelo ponto (1,2) e pelo baricentro do triângulo de vértices A(1,0), B(2,1) e C(3,4) tem equação x + 3y = 7. O baricentro G é a média aritmética das coordenadas dos vértices: G = ((1+2+3)/3, (0+1+4)/3) = (2, 5/3). A reta que passa por (1,2) e (2, 5/3) tem coeficiente angular m = (5/3 - 2)/(2 - 1) = -1/3, e sua equação é y - 2 = -1/3(x - 1), que simplifica para x + 3y = 7.
O baricentro (ou centro de gravidade) de um triângulo é o ponto de encontro das três medianas. Cada mediana liga um vértice ao ponto médio do lado oposto, e as três se cruzam num único ponto. Suas coordenadas são dadas pelas médias aritméticas das coordenadas dos vértices:
G = ((x_A + x_B + x_C)/3, (y_A + y_B + y_C)/3)
Essa é a fórmula que resolve a primeira parte da questão. Depois de achar G, precisamos da equação da reta que passa por dois pontos conhecidos: P(1,2) e G(2, 5/3). O coeficiente angular m é a variação de y sobre a variação de x:
m = (y_G - y_P)/(x_G - x_P) = (5/3 - 2)/(2 - 1) = (-1/3)/1 = -1/3
Com o ponto P(1,2) e o coeficiente m = -1/3, usamos a forma ponto-inclinação:
y - 2 = -1/3 (x - 1)
Multiplicando tudo por 3: 3y - 6 = -x + 1 → x + 3y = 7.
A pegadinha clássica aqui é errar o cálculo do baricentro (por exemplo, esquecer de dividir por 3 ou trocar as coordenadas) ou, ao montar a equação da reta, inverter o coeficiente angular (usar -3 em vez de -1/3). Vamos conferir cada alternativa substituindo os dois pontos: a correta deve satisfazer tanto P(1,2) quanto G(2, 5/3).
x − y = −1. Testando P(1,2): 1 − 2 = −1, ok. Testando G(2, 5/3): 2 − 5/3 = 1/3 ≠ −1. Não passa pelo baricentro. O erro: essa reta tem coeficiente angular 1, enquanto a reta procurada tem inclinação −1/3.
2x – y = 2. Testando P(1,2): 2·1 − 2 = 0 ≠ 2. Já falha no primeiro ponto. Coeficiente angular 2, totalmente diferente do correto.
x − y = 1. Testando P(1,2): 1 − 2 = −1 ≠ 1. Falha no ponto dado. Mesma inclinação da alternativa A, mas com o sinal do termo independente trocado.
3x − y = 5. Testando P(1,2): 3·1 − 2 = 1 ≠ 5. Falha no ponto dado. Coeficiente angular 3, novamente distante do correto.
x + 3y = 7. Testando P(1,2): 1 + 3·2 = 7, ok. Testando G(2, 5/3): 2 + 3·(5/3) = 2 + 5 = 7, ok. Passa pelos dois pontos, confirmando a equação correta.
A banca explora dois erros comuns: (1) calcular o baricentro errado — por exemplo, usar a média apenas de duas coordenadas ou esquecer de dividir por 3; (2) confundir o coeficiente angular, trocando o sinal ou invertendo a fração. Aqui, a reta correta tem inclinação −1/3; alternativas com inclinação 1, 2 ou 3 são distratores que não passam nem pelo ponto (1,2). Sempre confira a reta nos dois pontos: se falhar em um, está errada.
Para questões de reta que passam por dois pontos, o caminho é sempre: (1) calcule o baricentro com a média das coordenadas; (2) ache o coeficiente angular m = Δy/Δx; (3) use a forma y − y₀ = m(x − x₀) e simplifique. Testar as alternativas substituindo os dois pontos é a conferência mais rápida e segura — se a equação não zerar para ambos, descarte.
Gabarito: letra E
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