Questão de Matemática — Geometria Espacial — CESPE / CEBRASPE 2026

Geometria Espacial: área lateral do cone

Gabarito: letra E. A área lateral de um cone circular reto é dada por $A_l = \pi r g$, onde $r$ é o raio da base e $g$ é a geratriz. Como a altura $h = 1$ m, a geratriz é $g = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{1 + r^2}$. Igualando a área lateral fornecida a $\pi r \sqrt{1 + r^2}$ e resolvendo, obtemos $r = \sqrt{2}$ m.

O cone circular reto é um sólido de revolução gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um de seus catetos. Nesse triângulo, a hipotenusa é a geratriz $g$, um cateto é a altura $h$ e o outro cateto é o raio da base $r$. Portanto, vale a relação fundamental $g^2 = h^2 + r^2$.

A área lateral do cone é a área do setor circular obtido na planificação da superfície lateral, cujo raio é a geratriz $g$ e cujo comprimento do arco é o perímetro da base $2\pi r$. Assim, a área lateral é $A_l = \pi r g$.

A banca explora a necessidade de combinar essas duas relações. O candidato que não lembrar da relação entre geratriz, altura e raio pode tentar usar diretamente a altura como se fosse a geratriz, o que levaria a um resultado incorreto. A resolução correta envolve substituir a expressão da geratriz na fórmula da área lateral e resolver a equação resultante.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $\sqrt{6}$ como resposta. Esse valor não satisfaz a equação $\pi r \sqrt{1 + r^2} = \pi \sqrt{3}$. Elevando ao quadrado, teríamos $r^2(1 + r^2) = 3$, que não tem solução $r = \sqrt{6}$. Esse número não corresponde a nenhuma relação direta com os dados do problema.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $3\sqrt{2}$ como resposta. Esse valor também não satisfaz a equação. Substituindo $r = 3\sqrt{2}$ em $\pi r \sqrt{1 + r^2}$, obtemos um valor muito maior que $\pi \sqrt{3}$. Não há relação com os dados fornecidos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $2$ como resposta. Substituindo $r = 2$ em $\pi r \sqrt{1 + r^2}$, obtemos $\pi \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = 2\pi\sqrt{5}$, que não é igual a $\pi \sqrt{3}$. Esse valor não resolve a equação.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $\sqrt{3}$ como resposta. Substituindo $r = \sqrt{3}$ em $\pi r \sqrt{1 + r^2}$, obtemos $\pi \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{4} = 2\pi\sqrt{3}$, que não é igual a $\pi \sqrt{3}$. Esse valor é o dobro do correto, o que pode confundir o candidato que não eleva ao quadrado corretamente.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta $\sqrt{2}$ como resposta. Substituindo $r = \sqrt{2}$ em $\pi r \sqrt{1 + r^2}$, obtemos $\pi \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \pi \sqrt{6}$. Elevando ao quadrado, temos $r^2(1 + r^2) = 2 \cdot 3 = 6$, que é exatamente o quadrado da área lateral fornecida. Portanto, $r = \sqrt{2}$ m é a solução correta.

Gabarito: letra E