Questão de Matemática — Geometria Plana — CESPE / CEBRASPE 2026

Geometria Plana: soma dos ângulos internos de um polígono

Gabarito: letra D. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de $n$ lados é dada pela fórmula $S_i = (n - 2) \times 180^\circ$. Para um heptágono ($n=7$), temos $S_i = (7 - 2) \times 180^\circ = 5 \times 180^\circ = 900^\circ$. Como os ângulos estão em progressão aritmética (PA), a soma dos seus 7 termos é $S_7 = \frac{(a_1 + a_7) \times 7}{2} = 900^\circ$. Pela propriedade da PA, a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante e igual à soma do termo central ($a_4$) com ele mesmo, ou seja, $a_1 + a_7 = 2a_4$. Substituindo, temos $\frac{2a_4 \times 7}{2} = 900^\circ$, logo $7a_4 = 900^\circ$, resultando em $a_4 = \frac{900^\circ}{7}$. Convertendo para radianos, multiplicamos por $\frac{\pi}{180^\circ}$: $a_4 = \frac{900^\circ}{7} \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{5\pi}{7}$.

O conceito central aqui é a relação entre a soma dos ângulos internos de um polígono e a propriedade de simetria da progressão aritmética. Em qualquer PA com um número ímpar de termos, o termo central é a média aritmética de todos os termos, o que simplifica drasticamente o cálculo da soma.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\pi$ radianos equivale a $180^\circ$, o que não corresponde à média dos ângulos internos de um heptágono.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\frac{2\pi}{3}$ radianos equivale a $120^\circ$, que é o ângulo interno de um hexágono regular, não o termo central de um heptágono em PA.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\frac{3\pi}{5}$ radianos equivale a $108^\circ$, que é o ângulo interno de um pentágono regular.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Conforme demonstrado, o quarto termo (termo central) do heptágono em PA é $\frac{5\pi}{7}$ radianos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\frac{6\pi}{7}$ radianos equivale a aproximadamente $154,28^\circ$, não sendo o valor correto para o termo central solicitado.