Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2026 | Questão sqc-ce227044

Inequação modular: $2|x-3| \leq x$

Gabarito: letra E. A solução da inequação $2|x-3| \leq x$ é o intervalo $[2,6]$ , obtido pela análise dos dois casos do módulo.

Resolução

Para resolver $2|x-3| \leq x$ , devemos considerar a definição de módulo:

|x-3| = \begin{cases} x-3, & \text{se } x \geq 3 \\ 3-x, & \text{se } x < 3 \end{cases}

Caso 1: $x \geq 3$

A inequação fica $2(x-3) \leq x$ .

$2x - 6 \leq x \Rightarrow x \leq 6$ .

Intersecção com $x \geq 3$ : $3 \leq x \leq 6$ , ou seja, $[3,6]$ .

Caso 2: $x < 3$

A inequação fica $2(3-x) \leq x$ .

$6 - 2x \leq x \Rightarrow 6 \leq 3x \Rightarrow x \geq 2$ .

Intersecção com $x < 3$ : $2 \leq x < 3$ , ou seja, $[2,3)$ .

União dos casos: $[2,3) \cup [3,6] = [2,6]$ .

Portanto, o conjunto solução é $[2,6]$ .

Análise das alternativas

Solução da inequação modular — só Caso x ≥ 3: [3,6]; só Caso x < 3: [2,3); Caso x ≥ 3∩Caso x < 3: ∅

Alternativa A — ❌ Incorreta

$(-\infty, 2] \cup [6, +\infty)$ : inclui valores menores que 2 e maiores que 6, que não satisfazem a inequação. Erro: confunde com a solução de $2|x-3| \geq x$ ou não faz a intersecção correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$(-\infty, 6]$ : inclui valores menores que 2 (ex.: 1 não satisfaz). Falta a restrição inferior.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$[2, +\infty)$ : inclui valores maiores que 6 (ex.: 7 não satisfaz). Falta a restrição superior.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$(-\infty, 2]$ : inclui valores menores que 2 e exclui o intervalo [2,6]. Totalmente fora.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$[2,6]$ : exatamente o intervalo obtido pela resolução.

NÃO CAIA NESSA!

O erro mais comum é resolver apenas o caso $x \geq 3$ e obter $x \leq 6$ , esquecendo a condição $x \geq 3$ e o caso $x < 3$ . Outro erro é não unir os intervalos corretamente, gerando uma das alternativas incorretas.

PEGA ESSA DICA!

Sempre que houver módulo em uma inequação, divida em casos conforme o sinal da expressão dentro do módulo. Em cada caso, resolva a inequação e interseccione com a condição do caso. Por fim, una os resultados.

Gabarito: letra E.