Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2026 | Questão sqc-ce227046

Função do 2º grau: determinando os coeficientes a partir das raízes e de um ponto

Gabarito: letra D. Os coeficientes são a = -1, b = 1 e c = 6, pois, conhecidas as raízes x = -2 e x = 3, a função pode ser escrita na forma fatorada f(x) = a(x + 2)(x - 3); usando o ponto P(-1, 4) do gráfico, obtém-se a = -1, e a expansão da forma fatorada fornece b = 1 e c = 6.

A questão explora a relação entre as raízes de uma função quadrática e seus coeficientes. Quando conhecemos as raízes $x_1$ e $x_2$ , podemos escrever a função na forma fatorada:

f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)

Essa forma é extremamente útil porque já incorpora a informação das raízes, restando apenas determinar o coeficiente $a$ , o que é feito usando um ponto conhecido do gráfico. Depois, expandimos a expressão para obter os coeficientes $b$ e $c$ na forma geral $f(x) = ax^2 + bx + c$ .

A pegadinha da banca está em inverter o sinal das raízes ao montar os fatores: para a raiz $x_1 = -2$ , o fator é $(x - (-2)) = (x + 2)$ ; para $x_2 = 3$ , o fator é $(x - 3)$ . Quem troca esses sinais obtém uma função com raízes diferentes das dadas, caindo nos distratores.

Resolução passo a passo

1. Escrever a forma fatorada com as raízes $x_1 = -2$ e $x_2 = 3$ :

f(x) = a(x + 2)(x - 3)

2. Usar o ponto P(-1, 4) para encontrar $a$ . Como o ponto pertence ao gráfico, $f(-1) = 4$ :

4 = a(-1 + 2)(-1 - 3)

4 = a(1)(-4)

4 = -4a

a = -1

3. Expandir a forma fatorada com $a = -1$ :

f(x) = -1(x + 2)(x - 3)

f(x) = -(x^2 - 3x + 2x - 6)

f(x) = -(x^2 - x - 6)

f(x) = -x^2 + x + 6

Portanto, $a = -1$ , $b = 1$ e $c = 6$ .

Caso	Atribuição (a, b, c)	Resultado
A	a = −2/3, b = −2/3, c = 4	Inviável (soma das raízes não confere)
B	a = −1, b = −2, c = 3	Inviável (raízes são −3 e 1, não −2 e 3)
C	a = 1/2, b = −3/2, c = −2	Inviável (raízes são −1 e 4, não −2 e 3)
D	a = −1, b = 1, c = 6	Consistente (raízes −2 e 3; f(−1) = 4)
E	a = 1, b = −1, c = −6	Inviável (raízes corretas, mas f(−1) = −4 ≠ 4)

Alternativa A — ❌ Incorreta

Os valores $a = -2/3$ , $b = -2/3$ e $c = 4$ não satisfazem as condições. Se $c = 4$ , então $f(0) = 4$ , mas o ponto P(-1, 4) não é o intercepto no eixo y. Além disso, com essas raízes, o produto $c/a$ deveria ser $(-2)(3) = -6$ , e aqui $c/a = 4/(-2/3) = -6$ , o que até confere; porém, a soma das raízes $S = -b/a = 1$ não é verificada, pois $-b/a = -(-2/3)/(-2/3) = -1$ . O erro está em não usar corretamente o ponto P para determinar $a$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

Os valores $a = -1$ , $b = -2$ e $c = 3$ correspondem à função $f(x) = -x^2 - 2x + 3$ , cujas raízes são $x = -3$ e $x = 1$ , não as raízes dadas $x = -2$ e $x = 3$ . O candidato provavelmente montou os fatores com os sinais trocados: $(x - 2)(x + 3)$ em vez de $(x + 2)(x - 3)$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

Os valores $a = 1/2$ , $b = -3/2$ e $c = -2$ não produzem as raízes corretas. Verificando: $f(x) = (1/2)x^2 - (3/2)x - 2$ . As raízes seriam $x = -1$ e $x = 4$ , pois a soma é $1$ e o produto é $-4$ , mas as raízes dadas têm soma $1$ e produto $-6$ . O erro está em usar o ponto P de forma incorreta ou em errar a expansão dos fatores.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $a = -1$ , $b = 1$ e $c = 6$ satisfazem todas as condições: as raízes são $x = -2$ e $x = 3$ , e o ponto P(-1, 4) pertence ao gráfico, pois $f(-1) = -(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 1 + 6 = 4$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

Os valores $a = 1$ , $b = -1$ e $c = -6$ correspondem à função $f(x) = x^2 - x - 6$ , cujas raízes são $x = -2$ e $x = 3$ — as raízes corretas! Porém, o ponto P(-1, 4) não pertence ao gráfico, pois $f(-1) = 1 + 1 - 6 = -4 \neq 4$ . O erro está em não usar o ponto P para determinar o sinal de $a$ : como o ponto está acima do eixo x entre as raízes, a concavidade deve ser para baixo ( $a < 0$ ), e não para cima.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora duas armadilhas clássicas: (1) inverter os sinais das raízes ao montar os fatores — para raiz $x = -2$ , o fator é $(x + 2)$ , não $(x - 2)$ ; (2) esquecer de usar o ponto P para determinar o sinal de $a$ . A alternativa E tem as raízes certas, mas o coeficiente $a$ com sinal trocado — o ponto P(-1, 4) exige $a < 0$ , pois a função vale 4 (positivo) entre as raízes. Com treino, você enxerga essas trocas de longe 💪

PEGA ESSA DICA!

Sempre que a questão der as raízes e um ponto, use a forma fatorada $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ : ela já resolve metade do problema. Depois, confira o sinal de $a$ com o ponto — se o ponto está acima do eixo x entre as raízes, $a < 0$ ; se está abaixo, $a > 0$ .

Gabarito: letra D