Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2026 | Questão sqc-ce227047

Função cúbica: paridade e injetividade

Gabarito: letra C. A função $f(x) = -x^3 + 4x$ é ímpar, pois $f(-x) = -f(x)$ para todo $x$ real, e não é injetiva, pois existem valores distintos de $x$ com a mesma imagem (por exemplo, $f(0) = f(2) = f(-2) = 0$ ). A alternativa C é a única que combina corretamente essas duas propriedades.

A questão cobra dois conceitos fundamentais sobre funções: paridade (par/ímpar) e injetividade. Vamos analisar cada um com profundidade.

Paridade: Uma função é par se $f(-x) = f(x)$ para todo $x$ do domínio — seu gráfico é simétrico em relação ao eixo $y$ . Uma função é ímpar se $f(-x) = -f(x)$ — seu gráfico é simétrico em relação à origem. Para funções polinomiais, há um atalho prático: se todos os expoentes de $x$ são pares, a função é par; se todos são ímpares, a função é ímpar. Na função dada, os expoentes são 3 e 1, ambos ímpares, logo a função é ímpar.

Injetividade: Uma função é injetiva se elementos distintos do domínio têm imagens distintas, ou seja, $x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$ . Graficamente, isso significa que qualquer reta horizontal corta o gráfico em no máximo um ponto. A função cúbica $f(x) = -x^3 + 4x$ não é injetiva, pois, por exemplo, $f(0) = 0$ , $f(2) = -8 + 8 = 0$ e $f(-2) = 8 - 8 = 0$ . Assim, três valores distintos de $x$ produzem a mesma imagem, violando a definição de injetividade.

A banca explora a confusão entre os conceitos de paridade e injetividade, além de testar se o candidato sabe que uma função ímpar não é necessariamente bijetiva. A função é ímpar, mas não é injetiva (e, portanto, não é bijetiva).

f(x) = -x³ + 4x

1Paridade
- Par (f(-x) = f(x)) — expoentes pares
- Ímpar (f(-x) = -f(x)) — expoentes ímpares
  - Aqui: expoentes 3 e 1 → ímpar
2Injetividade
- Injetiva (x₁ ≠ x₂ → f(x₁) ≠ f(x₂))
- Não injetiva (raízes distintas → mesma imagem)
  - Aqui: f(0) = f(2) = f(-2) = 0
3Conclusão
- Não é bijetiva (não é injetiva)

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Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a função é par e não bijetiva. O erro está na paridade: a função é ímpar, não par. Para ser par, todos os expoentes de $x$ deveriam ser pares, mas aqui temos expoentes 3 e 1, ambos ímpares.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a função é par e não injetiva. Novamente, o erro está na paridade: a função é ímpar. A parte "não injetiva" está correta, mas a classificação de paridade está errada.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que a função é ímpar e não injetiva. Isso está correto: $f(-x) = -(-x)^3 + 4(-x) = x^3 - 4x = -(-x^3 + 4x) = -f(x)$ , confirmando a ímparidade. E não é injetiva, pois $f(0) = f(2) = f(-2) = 0$ , com $0 \neq 2 \neq -2$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a função é ímpar e bijetiva. A primeira parte está correta, mas a segunda não: a função não é injetiva (como mostrado), logo não pode ser bijetiva, pois bijetiva exige injetiva e sobrejetiva simultaneamente.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a função é par e sobrejetiva. O erro está na paridade (é ímpar). Quanto à sobrejetividade, a função $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = -x^3 + 4x$ é, de fato, sobrejetiva, pois é um polinômio de grau ímpar com domínio e contradomínio reais, o que garante que sua imagem é todo $\mathbb{R}$ . Mas a alternativa falha na paridade.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato ao misturar as classificações de paridade e injetividade. Muitos alunos, ao verem uma função cúbica, assumem automaticamente que ela é bijetiva (por ser ímpar), mas isso não é verdade: a presença de raízes múltiplas (como $x = 0$ , $x = 2$ e $x = -2$ ) quebra a injetividade. Fique atento: função ímpar não implica bijetiva.

PEGA ESSA DICA!

Para verificar a injetividade de uma função polinomial, um método rápido é tentar encontrar dois valores distintos de $x$ com a mesma imagem. Se a função tiver raízes reais distintas, ela não é injetiva (pois $f(r_1) = f(r_2) = 0$ com $r_1 \neq r_2$ ). Na função dada, as raízes são $-2$ , $0$ e $2$ , o que já denuncia a não injetividade.

Gabarito: letra C.