Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2026 | Questão sqc-ce227048

Composição de funções e função logarítmica

Gabarito: letra C. A composição $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \log_2(g(x) + 4)$ deve ser igual a $4x$ . Aplicando a definição de logaritmo, obtemos $g(x) + 4 = 2^{4x}$ , logo $g(x) = 2^{4x} - 4 = 16^x - 4$ .

A questão trabalha com dois conceitos centrais: composição de funções e função logarítmica. A composição $(f \circ g)(x)$ significa aplicar primeiro a função $g$ e, em seguida, a função $f$ sobre o resultado. No caso, $f(x) = \log_2(x+4)$ , então $f(g(x)) = \log_2(g(x) + 4)$ . O enunciado informa que essa composição resulta em $4x$ , ou seja, temos a equação:

\log_2(g(x) + 4) = 4x

Para "desfazer" o logaritmo, usamos a definição: se $\log_b(a) = c$ , então $a = b^c$ . Aplicando isso com base 2, obtemos:

g(x) + 4 = 2^{4x}

Isolando $g(x)$ :

g(x) = 2^{4x} - 4

Como $2^{4x} = (2^4)^x = 16^x$ , a expressão final é:

g(x) = 16^x - 4

A alternativa C apresenta exatamente essa expressão. As demais alternativas contêm erros típicos: algumas confundem a ordem da composição (calculando $g(f(x))$ em vez de $f(g(x))$ ), outras aplicam incorretamente a definição de logaritmo, e há ainda uma alternativa com erro de digitação (D).

Caso	Atribuição testada	Resultado da composição (f(g(x)))	Satisfaz (=4x)?
A	(g(x)=2+\log_2(x+4))	(\log_2(\log_2(x+4)+6))	Não
B	(g(x)=2x+8)	(\log_2(2x+12))	Não
C	(g(x)=16^x-4)	(\log_2(16^x)=4x)	Sim
D	(g(x)=16x-4)	(\log_2(16x))	Não
E	$(g(x)=64\cdot 2^x)$	$(\log_2(64\cdot 2^x+4))$	Não

Alternativa A — ❌ Incorreta

$g(x) = 2 + \log_2(x + 4)$ não satisfaz a composição. Se testarmos, $f(g(x)) = \log_2(2 + \log_2(x+4) + 4) = \log_2(\log_2(x+4) + 6)$ , que não é igual a $4x$ . Essa alternativa parece ter sido construída ao se confundir a composição com uma simples soma de funções, ou ao se tentar "isolar" o logaritmo de forma incorreta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$g(x) = 2x + 8$ também não funciona. Substituindo: $f(g(x)) = \log_2(2x + 8 + 4) = \log_2(2x + 12)$ , que não é $4x$ . O erro aqui é tratar a composição como se fosse $g(f(x))$ : se calculássemos $g(f(x)) = 2\log_2(x+4) + 8$ , também não chegaríamos a $4x$ . A banca provavelmente queria testar se o candidato confunde a ordem da composição.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $g(x) = 16^x - 4$ é a única que satisfaz a condição. Aplicando a definição de logaritmo na equação $\log_2(g(x)+4) = 4x$ , obtemos $g(x)+4 = 2^{4x}$ , e como $2^{4x} = 16^x$ , chegamos a $g(x) = 16^x - 4$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

$g(x) = 16x - 4$ (sem o expoente) é um distrator clássico: o candidato que esquece que $2^{4x}$ é uma exponencial e o trata como $2 \cdot 4x = 8x$ (ou algo similar) pode chegar a uma expressão linear. Mas o correto é $2^{4x} = (2^4)^x = 16^x$ , uma função exponencial, não linear. Além disso, a alternativa D apresenta um erro de digitação ("16x- 4" em vez de "16x − 4"), o que a torna ainda mais claramente incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$g(x) = 64 \cdot 2^x$ não satisfaz a condição. Substituindo: $f(g(x)) = \log_2(64 \cdot 2^x + 4)$ , que não é $4x$ . Essa alternativa pode ter sido gerada ao se pensar que $2^{4x} = 2^4 \cdot 2^x = 16 \cdot 2^x$ (o que é um erro, pois $2^{4x} = (2^4)^x$ ), ou ao se confundir a base. O correto é $2^{4x} = 16^x$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora duas confusões comuns: (1) inverter a ordem da composição — calcular $g(f(x))$ em vez de $f(g(x))$ ; (2) tratar $2^{4x}$ como $2 \cdot 4x$ ou $2^4 \cdot 2^x$ , quando na verdade $2^{4x} = (2^4)^x = 16^x$ . Fique atento: a composição $f \circ g$ aplica primeiro $g$ e depois $f$ , e a propriedade de potência é $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ .

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões de composição com logaritmos, siga o passo a passo: (1) escreva $f(g(x))$ substituindo $x$ por $g(x)$ na expressão de $f$ ; (2) iguale ao valor dado; (3) aplique a definição de logaritmo para eliminar o log; (4) isole $g(x)$ . Treine com funções diferentes para fixar o método.

Gabarito: letra C