Questão de Matemática — Funções — CESPE / CEBRASPE 2026

Função Inversa: cálculo e propriedades

Gabarito: letra E. A função inversa de $f(x)$ é obtida isolando-se a variável $x$ na equação $y = f(x)$ e, em seguida, trocando-se as variáveis $x$ e $y$. Dada a inversa $f^{-1}(x) = \frac{x}{4} + 3$, chamamos $f^{-1}(x) = y$, logo $y = \frac{x}{4} + 3$. Para encontrar $f(x)$, isolamos $x$: $y - 3 = \frac{x}{4} \implies x = 4(y - 3) \implies x = 4y - 12$. Trocando as variáveis, temos $f(x) = 4x - 12$.

Para determinar a função original a partir de sua inversa, o procedimento é idêntico ao de encontrar a inversa de uma função: a inversa da inversa é a própria função original. O processo algébrico exige atenção ao isolar a incógnita.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A expressão $f(x) = \frac{x}{3} + 4$ não corresponde à inversa dada. Se aplicássemos o método de inversão nesta função, obteríamos $y = \frac{x}{3} + 4 \implies x = 3(y - 4) \implies x = 3y - 12$, resultando em $f^{-1}(x) = 3x - 12$, o que difere da função inversa fornecida no enunciado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A expressão $f(x) = \frac{4}{x} + \frac{1}{3}$ representa uma função racional, não uma função afim. Inverter essa função exigiria um procedimento algébrico diferente, envolvendo frações algébricas, que não resulta na função linear apresentada no enunciado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A expressão $f(x) = \frac{4}{x + 12}$ é uma função homográfica. O gráfico dessa função é uma hipérbole, enquanto a inversa fornecida no enunciado é uma função de primeiro grau (reta), o que torna impossível que esta seja a função original.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A expressão $f(x) = -\frac{x}{4} - 3$ possui coeficientes diferentes da função correta. Ao inverter esta função, teríamos $y = -\frac{x}{4} - 3 \implies y + 3 = -\frac{x}{4} \implies x = -4(y + 3) \implies x = -4y - 12$, resultando em $f^{-1}(x) = -4x - 12$, o que não coincide com o enunciado.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a função correta. Ao calcular a inversa de $f(x) = 4x - 12$, temos $y = 4x - 12 \implies y + 12 = 4x \implies x = \frac{y + 12}{4} \implies x = \frac{y}{4} + 3$. Trocando $x$ por $y$, obtemos exatamente $f^{-1}(x) = \frac{x}{4} + 3$.

Gabarito: letra E