Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2026

Adição de números reais: propriedades dos conjuntos numéricos

Gabarito: letra E. A soma de dois números reais só pode resultar em um número irracional se pelo menos um dos números for irracional — pois a soma de dois racionais é sempre racional. Essa é a propriedade que a alternativa E corretamente enuncia.

A questão explora a relação entre a adição e a classificação dos números reais em racionais e irracionais. O conjunto dos números racionais é fechado para a adição: a soma de dois racionais é sempre um racional. Por outro lado, o conjunto dos irracionais não é fechado para a adição: a soma de dois irracionais pode ser racional (por exemplo, $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$). Essas duas propriedades são a chave para analisar cada alternativa.

A pegadinha clássica da banca é inverter a lógica: afirmar que, se um dos números é irracional, a soma é irracional (falso, pois $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$), ou que, se a soma é racional, os números devem ser racionais (falso, pois $\sqrt{2} + (2-\sqrt{2}) = 2$). A alternativa E é a única que apresenta uma implicação verdadeira, pois a única forma de a soma ser irracional é que pelo menos uma das parcelas seja irracional.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que, se um dos números é irracional, a soma é irracional. Isso é falso: a soma de um irracional com o seu oposto (também irracional) é zero, um número racional. Exemplo: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$. A banca explora a confusão entre a soma e o produto: enquanto o produto de um irracional por um racional não nulo é sempre irracional, a soma não tem essa propriedade.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que, se a soma é positiva, os números são não negativos. Isso é falso: a soma de dois números negativos pode ser positiva? Não, mas a soma de um número positivo com um negativo pode ser positiva, mesmo que um deles seja negativo. Exemplo: $5 + (-3) = 2$, que é positivo, mas $-3$ é negativo. A alternativa confunde a condição necessária com a suficiente: para a soma ser positiva, não é necessário que ambos sejam não negativos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que, se um dos números é uma dízima periódica, então o outro número ou o resultado é uma dízima periódica. Isso é falso: a soma de uma dízima periódica (racional) com um número irracional é irracional, e a soma de duas dízimas periódicas é uma dízima periódica (racional). Mas a alternativa exige que "o outro número ou o resultado" seja dízima periódica, o que não é garantido. Exemplo: $0,333... + \sqrt{2}$ é irracional, e o outro número ($\sqrt{2}$) não é dízima periódica. A alternativa tenta impor uma propriedade que não existe.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que, se a soma é um número inteiro, então os dois números são inteiros. Isso é falso: a soma de dois números racionais não inteiros pode ser inteira. Exemplo: $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$, que é inteiro, mas as parcelas não são inteiras. A alternativa confunde a soma com a operação de fechamento: o conjunto dos inteiros é fechado para a adição, mas isso não significa que a soma de não inteiros não possa ser inteira.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que, se o resultado é irracional, então pelo menos um dos números é irracional. Isso é verdadeiro, pois a soma de dois números racionais é sempre racional (o conjunto dos racionais é fechado para a adição). Portanto, se a soma é irracional, não é possível que ambos os números sejam racionais — logo, pelo menos um deles é irracional. Essa é a implicação correta, e a alternativa E é a resposta.

Gabarito: letra E