Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2026 | Questão sqc-ce227548

Funções e sazonalidade: modelando a arrecadação mensal

Gabarito: letra B. O fenômeno descrito — oscilações periódicas (quedas e altas) em torno de um valor médio — é modelado por uma função senoidal do tipo $A(t) = M + a\cdot\text{sen}(\omega t + \varphi)$ , em que $M$ é o valor médio, $a$ a amplitude das oscilações e $\omega$ a frequência. A única alternativa com essa estrutura é a B: $A(t) = 130 + 20\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{6}t + 2\right)$ , com valor médio 130 milhões e amplitude 20 milhões.

O enunciado descreve um comportamento sazonal: a arrecadação sobe e desce em épocas específicas do ano, sempre em torno de um valor médio. Isso é a assinatura de uma função periódica — e a função periódica mais simples e adequada é a seno (ou cosseno). As demais funções (exponencial, logarítmica, afim e quadrática) são monótonas em intervalos longos: ou crescem, ou decrescem, ou mudam de concavidade, mas não oscilam repetidamente. A sazonalidade exige repetição de padrão ao longo do tempo, o que só a senoide oferece.

Vamos analisar cada alternativa:

1Palavra-chave: oscila em torno de média
2Exige função periódica (seno/cosseno)
3Estrutura: M + a·sen(ωt + φ)
4Gabarito: letra B

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Critério	A) Exponencial	B) Senoidal (gabarito)	C) Logarítmica	D) Afim	E) Quadrática
Forma geral	(60e^{3t})	$(130 + 20\sen(\frac{\pi}{6}t + 2))$	$(30\log(3t - 1))$	(70 + 8t)	(150 - 20t + 3t^2)
Comportamento em (1 \le t \le 12)	Crescimento acelerado contínuo	Oscila entre 110 e 150, com período de 12 meses	Crescimento desacelerado (cada vez mais lento)	Crescimento linear constante	Decresce até $t \approx 3{,}33$ , depois cresce indefinidamente
Reproduz sazonalidade (altas e baixas periódicas)?	❌ Não — só cresce	✅ Sim — oscila em torno do valor médio 130	❌ Não — só cresce	❌ Não — só cresce	❌ Não — tem apenas uma virada, sem repetição
Oscila em torno de um valor médio?	❌ Não	✅ Sim (média = 130)	❌ Não	❌ Não	❌ Não
Adequação ao fenômeno descrito	❌ Modela crescimento contínuo, não ciclos	✅ Modela exatamente o padrão sazonal	❌ Modela estabilização, não ciclos	❌ Contradiz as quedas periódicas	❌ Confunde uma única mudança de tendência com sazonalidade

Alternativa A — ❌ Incorreta

A função exponencial $A(t) = 60 e^{3t}$ cresce de forma contínua e acelerada — quanto maior o tempo, maior a taxa de crescimento. Isso não reproduz quedas periódicas nem oscilação em torno de um valor médio. O erro aqui é confundir crescimento com sazonalidade: a exponencial modela fenômenos de crescimento (ou decaimento) contínuo, não ciclos.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A função senoidal $A(t) = 130 + 20\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{6}t + 2\right)$ tem exatamente a estrutura de uma oscilação periódica: o termo $130$ é o valor médio (em milhões de reais), $20$ é a amplitude (oscila entre $110$ e $150$ ), e $\frac{\pi}{6}$ é a frequência angular — que, para $t$ variando de 1 a 12, completa um ciclo anual (período $T = \frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ meses). Isso reproduz fielmente o comportamento descrito: altas e baixas em épocas específicas, sempre em torno do valor médio.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A função logarítmica $A(t) = 30\log(3t - 1)$ cresce de forma cada vez mais lenta (crescimento com desaceleração), sem nunca oscilar. Ela modela fenômenos de crescimento que se estabilizam, não ciclos sazonais. O erro é confundir crescimento com oscilação periódica.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A função afim $A(t) = 70 + 8t$ é estritamente crescente com taxa constante — a arrecadação só aumentaria linearmente, sem quedas. Isso contradiz diretamente o enunciado, que fala em "quedas em certas épocas do ano e altas em outras".

Alternativa E — ❌ Incorreta

A função quadrática $A(t) = 150 - 20t + 3t^2$ tem concavidade para cima e atinge um mínimo em $t = \frac{20}{6} \approx 3{,}33$ — ou seja, decresce até o mês 3 e depois cresce indefinidamente. Ela tem apenas uma virada, não oscilações periódicas repetidas. O erro é confundir uma única mudança de tendência com sazonalidade.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre crescimento e oscilação. O candidato que vê "altas e baixas" pode pensar em qualquer função que não seja constante — mas a sazonalidade exige repetição periódica, o que só a senoide oferece. As funções exponencial, logarítmica, afim e quadrática são monótonas (ou têm uma única virada), não cíclicas. Com treino, você identifica a palavra-chave "oscilando em torno de um valor médio" e já procura a senoide 💪.

PEGA ESSA DICA!

Para reconhecer a função certa em questões de sazonalidade, procure por funções periódicas — seno, cosseno, ou combinações com constante e amplitude. Se o enunciado mencionar "oscila em torno de um valor médio", a estrutura é $M + a\cdot\text{sen}(\omega t + \varphi)$ . As demais funções (exponencial, logarítmica, afim, quadrática) são monótonas ou têm uma única virada — nunca ciclos.

Gabarito: letra B