Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2026 | Questão sqc-ce227789

EstatísticaInferência estatística

Código: ce227789
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: SEFAZ-PR
Ano: 2026
Nível: Médio

Cargo: Agente Fazendário Estadual - Função: Estatístico

Em um modelo de regressão linear simples estimado por mínimos quadrados ordinários, um analista observa que a análise de variância decompõe apropriadamente a soma de quadrados total em soma de quadrados da regressão e soma de quadrados dos resíduos. Ao examinar o gráfico de resíduos versus valores ajustados, o analista identifica um padrão claro em formato de parábola (U invertido). Adicionalmente, ao calcular a correlação entre os resíduos ordinários e os valores ajustados, ele obtém valor próximo de zero. O analista também nota que, ao estimar o modelo por meio de máxima verossimilhança sob pressuposto de normalidade, os estimadores dos coeficientes de regressão são numericamente idênticos aos obtidos por mínimos quadrados, mas o estimador de máxima verossimilhança da variância do erro é ligeiramente menor que o estimador usual não viesado.Nessa situação hipotética,

Aa identidade numérica entre estimadores MQO e MV dos coeficientes implica que a decomposição da variância pela análise de variância é ótima e, portanto, o padrão parabólico nos resíduos não representa problema real, mas flutuação amostral aleatória, que desapareceria com o aumento do tamanho amostral, o que valida o modelo linear simples estimado.
Bo padrão parabólico indica inadequação da forma funcional linear, o que sugere não linearidade na relação verdadeira entre as variáveis, ao passo que a correlação zero entre resíduos ordinários e valores ajustados é uma propriedade algébrica que sempre vale em regressão por mínimos quadrados, não servindo como diagnóstico de adequação do modelo; a diferença entre estimadores MV e MQO da variância reflete que o estimador MV usa divisor n enquanto o não viesado usa n − 2.
Co padrão parabólico demonstra violação do pressuposto de homogeneidade de variâncias, e a solução adequada envolve a utilização de estimadores de mínimos quadrados ponderados, em que os pesos são inversamente proporcionais à variância estimada em cada ponto, o que corrige simultaneamente o padrão residual e aumenta a eficiência dos estimadores.
Do padrão parabólico nos resíduos combinado com correlação zero entre resíduos e valores ajustados indica que o modelo está corretamente especificado e todos os pressupostos são atendidos, pois a propriedade de ortogonalidade entre resíduos e predições é garantida algebricamente pelo método de mínimos quadrados, independentemente da forma funcional.
Ea correlação zero entre resíduos e valores ajustados prova que não há heterocedasticidade no modelo, e o padrão parabólico observado é artefato visual causado por observações influentes que devem ser identificadas por meio da distância de Cook e removidas para revelar a verdadeira estrutura linear dos dados.

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GabaritoB — o padrão parabólico indica inadequação da forma funcional linear, o que sugere não linearidade na relação verdadeira entre as variáveis, ao passo que a correlação zero entre resíduos ordinários e valores ajustados é uma propriedade algébrica que sempre vale em regressão por mínimos quadrados, não servindo como diagnóstico de adequação do modelo; a diferença entre estimadores MV e MQO da variância reflete que o estimador MV usa divisor n enquanto o não viesado usa n − 2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Diagnóstico de resíduos em regressão linear simples

Gabarito: letra B. O padrão em U invertido no gráfico de resíduos versus ajustados é o sinal clássico de forma funcional inadequada (não linearidade), enquanto a correlação nula entre resíduos ordinários e valores ajustados é uma propriedade algébrica garantida pelo método de mínimos quadrados — e, portanto, não serve como diagnóstico de adequação. A diferença entre os estimadores da variância do erro decorre dos divisores: o de máxima verossimilhança usa $n$ , e o não viesado usa $n-2$ .

A análise de resíduos é a principal ferramenta para verificar se os pressupostos do modelo de regressão linear são atendidos. O gráfico de resíduos versus valores ajustados permite detectar, entre outros problemas, a não linearidade (padrão curvilíneo, como o U invertido), a heterocedasticidade (funil ou leque) e outliers. Quando o padrão é curvilíneo, a indicação é de que a relação entre as variáveis não é bem descrita por uma reta — o modelo linear simples é inadequado, e a solução típica é incluir termos polinomiais (como $X^2$ ) ou transformar as variáveis.

A correlação entre resíduos ordinários e valores ajustados, por sua vez, é sempre zero em regressão por mínimos quadrados com intercepto. Isso decorre das equações normais: os resíduos são ortogonais à coluna de 1s e à coluna de $X$ , e como os valores ajustados são combinação linear dessas colunas, a correlação é nula por construção. Portanto, essa correlação não informa nada sobre a qualidade do ajuste — ela é uma identidade algébrica, não um diagnóstico.

Sobre os estimadores da variância do erro: no modelo de regressão linear simples com erros normais, o estimador de máxima verossimilhança é $\hat{\sigma}^2_{MV} = \frac{SQR}{n}$ , enquanto o estimador não viesado (usado no MQO) é $s^2 = \frac{SQR}{n-2}$ . Como $n > n-2$ , o estimador de MV é sempre menor (levemente, para $n$ grande) e é viesado para baixo. Essa é uma distinção clássica entre os dois métodos de estimação.

Caso	Atribuição	Resultado
A	Padrão parabólico = flutuação amostral; correlação zero valida modelo	Incorreta
B	U invertido = não linearidade; correlação zero = propriedade algébrica; MV usa n, não viesado usa n−2	Correta (gabarito)
C	Padrão parabólico = heterocedasticidade; MQP corrige curvatura	Incorreta
D	Ortogonalidade resíduos-ajustados prova especificação correta	Incorreta
E	Correlação zero prova ausência de heterocedasticidade; parábola = observações influentes	Incorreta

Diagnóstico de resíduos: Padrão em U invertido (Não linearidade, Forma funcional inadequada); Correlação zero resíduos × ajustados (Propriedade algébrica do MQO, Não serve como diagnóstico); Estimadores da variância (MV: divisor n, Não viesado: divisor n − 2)

Alternativa A — ❌ Incorreta

A identidade entre os estimadores MQO e MV dos coeficientes não tem relação com a otimalidade da decomposição da ANOVA, e o padrão parabólico nos resíduos não é flutuação amostral aleatória — é um sinal de má especificação. O aumento do tamanho amostral não corrige um erro de forma funcional; apenas tornaria o padrão mais evidente.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa sintetiza corretamente os três pontos: (1) o U invertido indica não linearidade; (2) a correlação zero entre resíduos e ajustados é propriedade algébrica do MQO, não diagnóstico; (3) a diferença entre os estimadores da variância se deve aos divisores $n$ (MV) e $n-2$ (não viesado).

Alternativa C — ❌ Incorreta

O padrão parabólico não indica heterocedasticidade — esta se manifesta como variância não constante dos resíduos (formato de funil ou leque), não como curvatura. A solução de mínimos quadrados ponderados é adequada para heterocedasticidade, não para não linearidade. Para não linearidade, a correção é mudar a forma funcional (adicionar termos polinomiais ou transformar variáveis).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o modelo está corretamente especificado, mas o padrão parabólico é justamente a evidência de que não está. A ortogonalidade entre resíduos e predições é garantida algebricamente, mas isso não valida a forma funcional — é uma propriedade que vale mesmo quando o modelo está errado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A correlação zero entre resíduos e ajustados não prova ausência de heterocedasticidade — ela é uma propriedade algébrica, independente de qualquer pressuposto. Além disso, o padrão parabólico não é artefato de observações influentes; a distância de Cook identifica pontos influentes, mas não é a ferramenta para diagnosticar não linearidade.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre correlação zero (propriedade algébrica, sempre verdadeira) e ausência de padrão (diagnóstico de adequação). O candidato que não domina essa distinção tende a aceitar a alternativa D, que usa a ortogonalidade para "provar" que o modelo está correto — quando, na verdade, o padrão parabólico já condena a especificação linear. Lembre-se: resíduos sempre têm correlação zero com os ajustados, mas isso não diz nada sobre a forma funcional.

PEGA ESSA DICA!

Para diagnosticar não linearidade, olhe o gráfico de resíduos versus ajustados: se houver curvatura (U, U invertido, S), o modelo linear é inadequado. Para heterocedasticidade, procure funil ou leque. E nunca use a correlação entre resíduos e ajustados como diagnóstico — ela é sempre zero por construção. Na prova, essa distinção cai com frequência; grave-a.

Gabarito: letra B.

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