Um analista tributário analisou a relação entre a cotação do dólar e a arrecadação mensal de ICMS (em milhões de reais). Após estimar o modelo de regressão, ele construiu um intervalo de confiança de 95% para o coeficiente angular (inclinação da reta), tendo obtido o seguinte resultado: [0,8 ; 3,2].Tendo por base a situação hipotética apresentada, assinale a opção correta acerca da relação entre a cotação do dólar e a arrecadação mensal do ICMS.
AO intervalo indica que, para cada real adicional na cotação do dólar, a arrecadação do ICMS aumenta exatamente em 2 milhões de reais, que é a média entre 0,8 e 3,2, com margem de erro de 95%.
BO intervalo mostra que há 95% de probabilidade de que o verdadeiro valor do coeficiente esteja entre 0,8 e 3,2 e, portanto, há 5% de chance de que o crescimento da cotação do dólar resulte na diminuição da arrecadação do ICMS.
CComo o intervalo não contém o valor 1, não há relação estatisticamente significativa entre a cotação do dólar e a arrecadação do ICMS, devendo o modelo estimado ser rejeitado.
DPode-se afirmar com 95% de confiança que existe uma relação positiva entre a cotação do dólar e a arrecadação de ICMS, pois todos os valores do intervalo são positivos e não incluem o zero.
EO intervalo indica que não se pode ter certeza sobre a direção do efeito da cotação do dólar na arrecadação de ICMS, pois o intervalo é muito amplo e contém valores tanto positivos quanto negativos.
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GabaritoD — Pode-se afirmar com 95% de confiança que existe uma relação positiva entre a cotação do dólar e a arrecadação de ICMS, pois todos os valores do intervalo são positivos e não incluem o zero.
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Intervalo de confiança para o coeficiente angular na regressão linear
Gabarito: letra D. O intervalo de confiança de 95% para o coeficiente angular é [0,8 ; 3,2]. Como todos os valores do intervalo são positivos e o zero não está incluído, conclui-se, com 95% de confiança, que o coeficiente é positivo, indicando uma relação positiva (crescente) entre a cotação do dólar e a arrecadação de ICMS. Essa é a interpretação correta de um intervalo de confiança para um parâmetro de regressão.
A questão cobra a interpretação de um intervalo de confiança para o coeficiente angular (β₁) de um modelo de regressão linear simples. O intervalo de confiança é construído a partir da estimativa pontual do coeficiente e de sua margem de erro, e fornece um conjunto de valores plausíveis para o parâmetro populacional, com um determinado nível de confiança (no caso, 95%).
A interpretação correta de um intervalo de confiança é: se repetíssemos o processo de amostragem e construção do intervalo muitas vezes, aproximadamente 95% dos intervalos assim construídos conteriam o verdadeiro valor do parâmetro. Para um intervalo específico, não se pode afirmar que há 95% de probabilidade de conter o parâmetro (o parâmetro é fixo, não aleatório); a probabilidade está no método, não no intervalo observado.
No contexto da regressão, o teste de significância do coeficiente angular (H₀: β₁ = 0 vs H₁: β₁ ≠ 0) pode ser realizado diretamente pelo intervalo de confiança: se o intervalo não contém o zero, rejeita-se a hipótese nula ao nível de significância correspondente (5%), concluindo que há relação estatisticamente significativa entre as variáveis. Como o intervalo [0,8 ; 3,2] não contém o zero, a relação é significativa e positiva.
Caso
Intervalo [0,8 ; 3,2]
Conclusão sobre β₁
A
Contém o ponto médio 2, mas não garante valor exato
Incorreta — não se afirma "exatamente 2"
B
Todos os valores positivos; zero não incluído
Incorreta — não há 5% de chance de coeficiente negativo
C
Não contém o zero (contém o 1, mas isso é irrelevante)
Incorreta — significância é avaliada pelo zero, não pelo 1
D
Todos os valores positivos; zero não incluído
Correta — relação positiva com 95% de confiança
E
Todos os valores positivos; não há valores negativos
Incorreta — não há incerteza sobre a direção do efeito
Contém 0
Não contém 0
Todos negativos
Sem significância
Relação positiva
Todos positivos
Sem significância
Relação negativa
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Alternativa A — ❌ Incorreta
O erro está em afirmar que o aumento é "exatamente" de 2 milhões de reais. O ponto médio do intervalo (2) é apenas a estimativa pontual do coeficiente; o intervalo de confiança indica que o verdadeiro valor provavelmente está entre 0,8 e 3,2, mas não afirma que é exatamente 2. Além disso, a "margem de erro de 95%" é uma expressão incorreta — a margem de erro é a metade da amplitude do intervalo (1,2), e o nível de confiança é de 95%, não a margem.
Alternativa B — ❌ Incorreta
A afirmação de que "há 95% de probabilidade de que o verdadeiro valor do coeficiente esteja entre 0,8 e 3,2" é uma interpretação frequencista incorreta. O parâmetro é fixo; a probabilidade de 95% refere-se ao método de construção do intervalo, não ao intervalo específico. Além disso, a conclusão de que "há 5% de chance de que o crescimento da cotação do dólar resulte na diminuição da arrecadação" é equivocada: como todos os valores do intervalo são positivos, não há suporte para afirmar que o coeficiente possa ser negativo.
Alternativa C — ❌ Incorreta
O critério para verificar significância estatística do coeficiente angular é verificar se o intervalo de confiança contém o zero, não o valor 1. Como o intervalo [0,8 ; 3,2] não contém o zero, a relação é estatisticamente significativa. O valor 1 não tem significado especial nesse contexto; a hipótese nula testada é β₁ = 0, não β₁ = 1.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Esta é a interpretação correta. Como todos os valores do intervalo são positivos (0,8 a 3,2) e o zero não está incluído, pode-se afirmar com 95% de confiança que o coeficiente angular é positivo, indicando uma relação positiva entre a cotação do dólar e a arrecadação de ICMS. Isso significa que, em média, um aumento na cotação do dólar está associado a um aumento na arrecadação.
Alternativa E — ❌ Incorreta
A afirmação de que o intervalo "contém valores tanto positivos quanto negativos" é falsa, pois todos os valores do intervalo são positivos (0,8 a 3,2). Portanto, há evidência de uma relação positiva, e não de incerteza sobre a direção do efeito.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre a interpretação correta do intervalo de confiança e a interpretação incorreta de "probabilidade de conter o parâmetro". Lembre-se: o parâmetro é fixo; a probabilidade está no método, não no intervalo observado. Além disso, o critério de significância é verificar se o zero está no intervalo, não o valor 1.
PEGA ESSA DICA!
Para questões de intervalo de confiança na regressão, verifique sempre se o zero está no intervalo. Se não estiver, a relação é estatisticamente significativa. Se todos os valores forem positivos, a relação é positiva; se todos forem negativos, é negativa.