Questão de Estatística — Modelos lineares — CESPE / CEBRASPE 2026

Mínimos quadrados ordinários em regressão linear simples

Gabarito: letra E. O método dos mínimos quadrados ordinários (MQO) consiste em minimizar a soma dos quadrados das diferenças verticais entre os valores observados e os valores preditos pela reta de regressão — é exatamente o que a alternativa E descreve. As demais alternativas trocam o critério de ajuste por outras ideias (soma algébrica nula, maximização, desvios absolutos, correlação), que não correspondem ao que o MQO faz.

O MQO é o procedimento padrão para estimar os coeficientes de um modelo de regressão linear. Dado um conjunto de pares $(x_i, y_i)$, busca-se a reta $\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x$ que minimize a função:

em que $e_i = y_i - \hat{y}_i$ é o resíduo (diferença vertical entre o valor observado e o predito). O nome "mínimos quadrados" vem justamente daí: elevar ao quadrado os desvios e somá-los, para depois minimizar essa soma. Essa escolha tem consequências importantes:

• Por que elevar ao quadrado? Para penalizar desvios grandes de forma mais severa e evitar que erros positivos e negativos se cancelem. Se usássemos apenas a soma simples dos desvios, uma reta com erros enormes mas equilibrados (metade positivos, metade negativos) daria soma zero — o que não é desejável.

• Por que "verticais"? A distância medida é na direção da variável resposta $Y$, não perpendicular à reta. Isso porque o modelo assume que $X$ é fixa (não aleatória) e o erro está em $Y$.

• Propriedade dos resíduos: uma consequência do MQO (quando o modelo tem intercepto) é que a soma dos resíduos é nula, $\sum e_i = 0$. Mas isso é uma consequência, não o objetivo do método. A alternativa A confunde essa propriedade com o critério de ajuste.

A pegadinha central da questão é distinguir o objetivo do MQO (minimizar a soma dos quadrados dos resíduos) de propriedades derivadas (soma dos resíduos nula) e de outros métodos (como a regressão por desvios absolutos, que minimiza a soma dos módulos).

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o MQO busca uma reta em que a soma algébrica simples dos desvios seja zero. Isso é uma propriedade que decorre do MQO quando há intercepto no modelo — os resíduos somam zero — mas não é o critério de otimização. Se o objetivo fosse apenas zerar a soma, qualquer reta que passasse pelo ponto médio $\bar{x}, \bar{y}$ com inclinação arbitrária satisfaria, sem garantir o melhor ajuste. O MQO minimiza a soma dos quadrados, não a soma simples.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Inverte completamente o objetivo: o MQO minimiza a soma dos quadrados dos desvios, não a maximiza. Maximizar a soma dos desvios levaria a uma reta que se afasta o máximo possível dos pontos — o oposto do ajuste desejado. Além disso, a ideia de "passar pelo maior número possível de pontos" não é critério do MQO; a reta de mínimos quadrados não precisa passar por nenhum ponto específico (exceto pelo ponto das médias).

Alternativa C — ❌ Incorreta

Descreve a regressão por desvios absolutos (ou regressão L1), que minimiza $\sum |y_i - \hat{y}_i|$, e não o MQO. O MQO eleva os desvios ao quadrado, o que dá mais peso a valores extremos (outliers), enquanto a abordagem por módulos é mais robusta a eles. A alternativa tenta justificar a não-elevação ao quadrado "para evitar distorções", mas isso é justamente o oposto do que o MQO faz — ele eleva ao quadrado e, por isso, é sensível a outliers.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O MQO não tem como objetivo maximizar a correlação entre as variáveis. A correlação de Pearson mede a força da associação linear, mas o ajuste por mínimos quadrados minimiza a soma dos quadrados dos resíduos — e, embora o coeficiente de determinação $R^2$ seja o quadrado da correlação, isso é uma relação matemática, não um objetivo do método. A ideia de "forçar todos os pontos a ficarem equidistantes" também não faz sentido: os resíduos não são equidistantes, e a reta não é traçada com essa restrição.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a definição exata do MQO: minimizar a soma dos quadrados das diferenças verticais entre os valores observados ($y_i$) e os valores preditos ($\hat{y}_i$). A palavra "verticais" é crucial — a distância é medida na direção de $Y$, pois o modelo supõe erro apenas na variável resposta. A fórmula é:

que é o que a alternativa descreve com precisão.

Gabarito: letra E