Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2026

Estimação por máxima verossimilhança em regressão linear simples

Gabarito: letra B. O método da máxima verossimilhança (EMV) escolhe os valores dos parâmetros que maximizam a função de verossimilhança, ou seja, que tornam os dados observados os mais prováveis sob o modelo estatístico assumido. Essa é a essência do método: dado um modelo probabilístico, busca-se o vetor de parâmetros que torna a amostra efetivamente observada a mais plausível.

O EMV é um dos métodos de estimação mais importantes da inferência estatística. A ideia central é construir a função de verossimilhança $L(\theta) = f(x_1, x_2, \dots, x_n; \theta)$, que representa a probabilidade (ou densidade) conjunta de se observar a amostra como função dos parâmetros $\theta$. O estimador de máxima verossimilhança é o valor $\hat{\theta}$ que maximiza essa função (ou, equivalentemente, o logaritmo dela, o que é mais conveniente matematicamente).

No contexto da regressão linear simples, o modelo é $Y_i = \alpha + \beta X_i + \varepsilon_i$, com $\varepsilon_i \sim N(0, \sigma^2)$ independentes. Sob a suposição de normalidade dos erros, a função de verossimilhança é o produto das densidades normais. Maximizar essa função leva a estimadores para $\alpha$ e $\beta$ que coincidem com os do método dos mínimos quadrados ordinários (MQO). Essa equivalência é um resultado clássico: quando os erros são normais, o EMV e o MQO produzem as mesmas estimativas para os coeficientes de regressão. No entanto, essa igualdade não é geral — ela depende da distribuição assumida. Para outras distribuições, o EMV pode diferir do MQO.

A pegadinha da questão está justamente em explorar essa relação: a alternativa C afirma que o EMV "sempre" fornece os mesmos resultados do MQO, independentemente da distribuição. Isso é falso, pois a equivalência só vale sob normalidade (ou em casos específicos). A alternativa B captura a definição correta do método, sem cair nessa armadilha.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Atribui a mesma verossimilhança para todo possível valor dos parâmetros. Isso contraria o princípio do EMV: a verossimilhança varia conforme os parâmetros, e o método busca justamente o ponto de máximo. Se todos os valores tivessem a mesma verossimilhança, não haveria um estimador único — qualquer valor seria igualmente plausível, o que tornaria o método inútil.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a definição precisa do EMV: escolher os parâmetros que maximizam a probabilidade de observar os dados que de fato foram observados. Em outras palavras, o EMV torna os dados observados os mais prováveis sob o modelo assumido. É exatamente o que a alternativa afirma, e por isso é a correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o EMV "sempre" fornece os mesmos resultados do MQO, independentemente da distribuição. Isso é uma generalização indevida. A equivalência entre EMV e MQO ocorre quando os erros seguem distribuição normal (ou em alguns casos específicos), mas não é uma propriedade universal. Para outras distribuições, os estimadores podem diferir. A palavra "sempre" é o gatilho do erro.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Diz que o EMV torna os valores preditos os menores possíveis. Isso confunde o EMV com o critério de minimização da soma dos quadrados dos resíduos (MQO). O EMV não busca minimizar valores preditos; busca maximizar a verossimilhança. Além disso, "menores possíveis" não é um objetivo estatístico coerente — não se quer minimizar predições, mas sim ajustar bem o modelo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o EMV minimiza o número de erros cometidos pelo modelo. Isso não é uma propriedade do EMV. O método não trabalha com a contagem de erros (como em classificação), mas com a maximização da função de verossimilhança. Minimizar erros é um conceito de outras áreas (como aprendizado de máquina com funções de perda), não da estimação por máxima verossimilhança.

Gabarito: letra B.