Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2026

Estimativa de máxima verossimilhança para a distribuição geométrica

Gabarito: letra A. A estimativa de máxima verossimilhança de $p$ para a distribuição geométrica é o inverso da média amostral do número de tentativas até o primeiro sucesso. Com os dados (5, 3, 1, 4, 1), a média é 2,8, logo $\hat{p} = 1/2,8 \approx 0,3571$, que está no intervalo [32%; 40%[.

A questão envolve um experimento em que se anota o número de tentativas até o primeiro sucesso — exatamente o cenário da distribuição geométrica. Cada tentativa é um ensaio de Bernoulli com probabilidade $p$ de sucesso, e o número de tentativas $X$ até o primeiro sucesso tem função de probabilidade $P(X = k) = (1-p)^{k-1} p$, com média $E(X) = 1/p$. O objetivo é estimar $p$ pelo método da máxima verossimilhança.

O método da máxima verossimilhança consiste em escolher o valor de $p$ que maximiza a probabilidade de observar os dados que de fato foram observados. Para uma amostra de valores $x_1, x_2, \dots, x_n$ de uma distribuição geométrica, a função de verossimilhança é o produto das probabilidades individuais. Maximizar essa função (ou seu logaritmo) leva ao estimador:

onde $\bar{x}$ é a média amostral. Esse é um resultado clássico: o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro da geométrica é o inverso da média amostral.

Aplicando aos dados do enunciado:

• Tentativas por dia: 5, 3, 1, 4, 1

• Média: $\bar{x} = \frac{5+3+1+4+1}{5} = \frac{14}{5} = 2,8$

• Estimativa: $\hat{p} = \frac{1}{2,8} = 0,3571...$

Em percentual: $\hat{p} \approx 35,71\%$, que está no intervalo [32%; 40%[.

A pegadinha da banca está em confundir a distribuição geométrica com a binomial. Na binomial, o número de tentativas é fixo e se conta o número de sucessos; na geométrica, o número de sucessos é fixo (1) e se conta o número de tentativas até ele ocorrer. Aqui, como o trompetista anota quantas tentativas foram necessárias até acertar, o modelo é geométrico, e não binomial. Se o candidato tratasse os dados como binomial, contaria 5 sucessos em 14 tentativas, obtendo $\hat{p} = 5/14 \approx 0,3571$ — o mesmo valor numérico, mas por um caminho conceitualmente errado. A banca explora exatamente essa confusão.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A estimativa de máxima verossimilhança é $\hat{p} = 1/\bar{x} = 1/2,8 \approx 0,3571$, ou seja, 35,71%. Esse valor está no intervalo [32%; 40%[, que é a alternativa correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo [0; 8%[ corresponderia a uma estimativa de $p$ muito baixa, como $\hat{p} \approx 0,04$. Isso ocorreria se a média amostral fosse cerca de 25 tentativas, o que não é o caso. O valor correto é 35,71%, muito acima de 8%.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O intervalo [16%; 24%[ corresponderia a $\hat{p}$ entre 0,16 e 0,24, ou seja, uma média amostral entre aproximadamente 4,17 e 6,25. A média observada é 2,8, então a estimativa correta é maior. Esse intervalo não contém 35,71%.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo [24%; 32%[ contém valores até 32%, mas a estimativa correta é 35,71%, que está acima de 32%. Portanto, não pertence a esse intervalo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O intervalo [8%; 16%[ corresponderia a $\hat{p}$ entre 0,08 e 0,16, o que implicaria uma média amostral entre 6,25 e 12,5. A média observada é 2,8, então a estimativa correta é bem maior. Esse intervalo está muito abaixo do valor correto.

Gabarito: letra A.