Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2026

Estimadores da variância populacional e viés

Gabarito: letra A. O estimador com o maior viés para a variância populacional ($\sigma^2$) entre as opções apresentadas é aquele que mais se distancia do estimador não viesado, que é a variância amostral corrigida $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$. O viés de um estimador $\hat{\theta}$ é definido como $E[\hat{\theta}] - \theta$. Para a variância amostral não corrigida (ou enviesada), temos $E[\frac{1}{n} \sum (X_i - \bar{X})^2] = \frac{n-1}{n} \sigma^2$, o que resulta em um viés de $-\frac{1}{n} \sigma^2$. A alternativa A apresenta um estimador que, ao ser expandido e comparado com o valor esperado da variância amostral, resulta no maior desvio sistemático em relação ao parâmetro populacional $\sigma^2$ para amostras de tamanho $n > 4$.

Na inferência estatística, buscamos estimadores que possuam propriedades desejáveis, como a não tendenciosidade (ausência de viés). A variância amostral clássica, dividida por $n-1$, é o estimador não viesado de $\sigma^2$. Quando utilizamos divisores diferentes, introduzimos um viés que depende do tamanho da amostra $n$. O estimador da alternativa A, ao utilizar o fator $\frac{n}{(n-1)^2}$, superestima ou subestima a variância de forma mais acentuada do que os demais estimadores apresentados nas outras alternativas, configurando o maior viés.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Este estimador, ao aplicar o fator de correção $\frac{n}{(n-1)^2}$, introduz um viés significativamente maior do que os estimadores que utilizam divisores como $n$ ou $n-1$. Para $n > 4$, a magnitude do erro sistemático gerado por esta fórmula é superior à dos demais casos, tornando-o o estimador mais enviesado entre as opções.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Este estimador utiliza o divisor $n-2$. Embora seja um estimador viesado (pois o divisor correto para não viés é $n-1$), o seu viés é menor do que o da alternativa A, pois o divisor $n-2$ está mais próximo de $n-1$ do que o fator complexo presente na alternativa A.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Este é o estimador de máxima verossimilhança para a variância (quando a população é normal), utilizando o divisor $n$. Ele é um estimador viesado, mas seu viés ($-\frac{1}{n}\sigma^2$) é bem conhecido e, para amostras grandes, tende a zero. Não é o estimador com o maior viés.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Este é o estimador não viesado da variância populacional ($S^2$). Por definição, o seu viés é igual a zero ($E[S^2] = \sigma^2$). Portanto, é o estimador com o menor viés possível (nulo), sendo a alternativa oposta ao que a questão solicita.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Este estimador utiliza um fator de correção $\frac{n-1}{n(n-3)}$. Embora também seja um estimador viesado, o seu viés é calculado de forma distinta e, para valores de $n > 4$, não atinge a magnitude do viés introduzido pelo estimador da alternativa A.