Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2026

Momentos da distribuição normal padrão

Gabarito: letra A (4). Para $Z \sim N(0,1)$, temos $E(Z)=0$, $E(Z^2)=1$, $E(Z^3)=0$ e $E(Z^4)=3$; somando: $0+1+0+3=4$. A questão cobra os momentos centrais da normal padrão, que são obtidos da função geradora de momentos (FGM) ou da relação com a distribuição qui-quadrado.

A distribuição normal padrão é simétrica em torno de zero, o que anula todos os momentos ímpares: $E(Z^{2k+1})=0$ para $k=0,1,2,\dots$. Já os momentos pares seguem a fórmula $E(Z^{2k})=(2k-1)!!$, onde $(2k-1)!!$ é o fatorial duplo (produto dos ímpares até $2k-1$). Assim:

• $E(Z^2)=1$ (que é a variância, pois $E(Z)=0$);

• $E(Z^4)=3$ (pois $4!! = 3\times1 = 3$);

• $E(Z^6)=15$ ($5\times3\times1$), e assim por diante.

Uma forma prática de lembrar: $E(Z^4)=3$ é o valor que aparece na curtose da normal (curtose = 3). A banca explora exatamente a confusão entre $E(Z^2)=1$ e $E(Z^4)=3$ — muitos candidatos acham que $E(Z^4)=1$ ou que $E(Z^3)=1$.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A soma é $E(Z^4)+E(Z^3)+E(Z^2)+E(Z) = 3+0+1+0 = 4$. Cada termo está correto: $E(Z^4)=3$, $E(Z^3)=0$ (simetria), $E(Z^2)=1$ (variância) e $E(Z)=0$ (média).

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 3 corresponde apenas a $E(Z^4)$, ignorando os demais termos. O candidato que soma só o momento de ordem 4 cai nessa alternativa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 2 não corresponde a nenhuma combinação simples dos momentos. Talvez o candidato some $E(Z^2)+E(Z^4)$ e erre o valor de $E(Z^4)$ como 1, obtendo 2.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 1 corresponde apenas a $E(Z^2)$, esquecendo os outros momentos. É o distrator mais comum: quem lembra que a variância é 1, mas não calcula os demais.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 0 seria o resultado se todos os momentos fossem nulos, o que só vale para os ímpares. Quem considera apenas $E(Z)=0$ e $E(Z^3)=0$ e esquece os pares cai aqui.

Gabarito: letra A