Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2026

Distribuição Geométrica: desvio-padrão do número de tentativas até o primeiro sucesso

Gabarito: letra D. A variável X (número de processos analisados até o primeiro caso de fraude) segue distribuição geométrica com parâmetro p = 0,19. Para essa distribuição, a variância é dada por $\frac{1-p}{p^2}$ e o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância. Substituindo p = 0,19, obtemos $\sqrt{\frac{0,81}{0,0361}} = \sqrt{\frac{81}{3,61}} = \frac{9}{1,9} = \frac{90}{19}$, que corresponde à alternativa D.

A distribuição geométrica modela o número de tentativas independentes de Bernoulli até a ocorrência do primeiro sucesso. No contexto da questão, cada processo é uma tentativa com probabilidade de sucesso (fraude) p = 0,19, e X conta quantos processos são necessários até encontrar o primeiro com fraude. É uma distribuição discreta com suporte nos inteiros positivos (1, 2, 3, ...).

As principais medidas dessa distribuição são:

• Média (esperança): $E[X] = \frac{1}{p}$

• Variância: $Var(X) = \frac{1-p}{p^2}$

• Desvio-padrão: $DP(X) = \sqrt{\frac{1-p}{p^2}}$

A pegadinha clássica da banca é confundir a fórmula da variância com a da média ou esquecer de extrair a raiz quadrada. Muitos candidatos calculam a variância e param, ou usam $\frac{1}{p}$ como se fosse o desvio-padrão. Aqui, o cálculo correto exige aplicar a raiz quadrada.

Vamos ao cálculo passo a passo:

1. Identificar p = 0,19 e q = 1 - p = 0,81.

2. Calcular a variância: $Var(X) = \frac{0,81}{0,19^2} = \frac{0,81}{0,0361}$.

3. Extrair a raiz quadrada: $DP(X) = \sqrt{\frac{0,81}{0,0361}} = \frac{\sqrt{0,81}}{\sqrt{0,0361}} = \frac{0,9}{0,19} = \frac{90}{19}$.

Portanto, o desvio-padrão é $\frac{90}{19}$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{1}{19}$, que é o valor de $\frac{1}{p}$ apenas se p = 19, o que não faz sentido. Na verdade, $\frac{1}{p}$ seria a média se p fosse 19, mas p = 0,19. O valor $\frac{1}{19}$ não corresponde a nenhuma medida da distribuição geométrica com p = 0,19. É um distrator que confunde a probabilidade com o número de tentativas.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{36}{19}$. Esse valor não tem relação direta com as fórmulas da geométrica. Poderia ser uma tentativa de usar $\frac{1-p}{p}$ (que seria $\frac{0,81}{0,19} = \frac{81}{19}$), mas não é o caso. É um número aleatório que não corresponde a nenhuma medida da distribuição.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{91}{19}$. Esse valor é próximo do correto, mas não é o resultado. Pode ter sido obtido por erro de arredondamento ou por usar $\frac{1+p}{p}$ (que seria $\frac{1,19}{0,19} = \frac{119}{19}$), mas não é o caso. É um distrator que tenta confundir quem calcula a variância sem extrair a raiz.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o desvio-padrão da distribuição geométrica com p = 0,19 é $\sqrt{\frac{1-p}{p^2}} = \frac{90}{19}$. A alternativa reproduz exatamente esse valor, sendo a única correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{125}{19}$. Esse valor não corresponde a nenhuma medida da geométrica. Poderia ser uma tentativa de usar $\frac{1}{p^2}$ (que seria $\frac{1}{0,0361} \approx 27,7$), mas não é o caso. É um distrator que não tem fundamento teórico.

Gabarito: letra D