Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2026

Distribuição exponencial e probabilidade condicional

Gabarito: letra D. Como $Y|X=x$ segue distribuição exponencial com média $E[Y|X=x] = 2x^2$, para $X=2$ a média é $8$, logo o parâmetro é $\lambda = 1/8$. A probabilidade pedida é $P(Y > 8|X=2) = e^{-\lambda \cdot 8} = e^{-1}$, que corresponde exatamente à alternativa D.

A distribuição exponencial é uma das principais distribuições contínuas de probabilidade, usada para modelar o tempo até a ocorrência de um evento (falha, chamada, chegada etc.). Sua função densidade de probabilidade é $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$, para $x \geq 0$, e sua média é $E[X] = 1/\lambda$. A função de distribuição acumulada é $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$, que dá a probabilidade de a variável ser menor ou igual a um valor $x$. Por complemento, a probabilidade de a variável ser maior que um valor $x$ é $P(X > x) = e^{-\lambda x}$.

A questão combina dois conceitos: esperança condicional e distribuição exponencial. O enunciado fornece a esperança condicional $E[Y|X=x] = 2x^2$, que é a média da distribuição exponencial condicionada a um valor específico de $X$. Para $X=2$, essa média é $2 \cdot 2^2 = 8$. Como na exponencial a média é o inverso do parâmetro, temos $\lambda = 1/8$. Então, a probabilidade de $Y$ ser maior que 8, dado $X=2$, é $e^{-\lambda \cdot 8} = e^{-8/8} = e^{-1}$.

A pegadinha da banca está em confundir a fórmula da probabilidade acumulada com a da cauda superior. Muitos candidatos usam $P(Y > 8) = 1 - e^{-\lambda \cdot 8}$, esquecendo que a exponencial tem a propriedade de falta de memória e que a cauda superior é simplesmente $e^{-\lambda x}$. Além disso, é comum errar o cálculo da média condicional: $2 \cdot 2^2 = 8$, e não $2 \cdot 2 = 4$ ou $2^2 = 4$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $0,125 \times \exp(1)$. O fator $0,125$ é $1/8$, que é o valor do parâmetro $\lambda$, mas o expoente positivo $\exp(1)$ está errado: a probabilidade correta é $e^{-1}$, com expoente negativo. Além disso, a alternativa mistura o parâmetro com a exponencial de forma incorreta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $1 - 0,125 \times \exp(-1)$. Essa expressão parece combinar a fórmula da acumulada $1 - e^{-\lambda x}$ com o parâmetro $\lambda = 1/8$, mas a fórmula correta para a cauda superior é apenas $e^{-\lambda x}$, sem o $1 -$. O candidato que confunde a cauda superior com a acumulada cai nessa alternativa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $1 - \exp(-1)$. Essa é a probabilidade acumulada $P(Y \leq 8|X=2) = 1 - e^{-1}$, que é o complemento do que se pede. A banca troca a cauda superior pela acumulada, uma armadilha clássica.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta $\exp(-1)$, que é exatamente $e^{-1}$. Como calculado, $P(Y > 8|X=2) = e^{-\lambda \cdot 8} = e^{-8/8} = e^{-1}$. A alternativa espelha corretamente a cauda superior da exponencial.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $0,125 \times \exp(-1)$. O fator $0,125$ é $1/8$, que é o parâmetro $\lambda$, mas a probabilidade correta não multiplica por $\lambda$: a cauda superior é apenas $e^{-\lambda x}$. O candidato que confunde a densidade $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ com a probabilidade cai nessa alternativa.

Gabarito: letra D