Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2026 | Questão sqc-ce227820

Cálculo de Probabilidades: esperança do produto de normais padrão

Gabarito: letra C. O valor esperado do produto $E[UV]$ é igual à covariância entre $U$ e $V$ , pois $E[U]=E[V]=0$ . Usando a identidade $\text{Var}(U+V) = \text{Var}(U) + \text{Var}(V) + 2\text{Cov}(U,V)$ e os dados do enunciado ( $\text{Var}(U)=\text{Var}(V)=1$ e $\text{Var}(U+V)=1,5^2=2,25$ ), obtém-se $\text{Cov}(U,V) = 0,125$ , que é exatamente $E[UV]$ .

A questão explora a relação entre variância da soma e covariância, um tópico central em variáveis aleatórias multidimensionais. Vamos destrinchar o raciocínio passo a passo.

Primeiro, relembre a definição de covariância: $\text{Cov}(U,V) = E[UV] - E[U]E[V]$ . Como $U$ e $V$ seguem distribuição normal padrão, temos $E[U] = E[V] = 0$ . Portanto, $\text{Cov}(U,V) = E[UV]$ . Assim, encontrar $E[UV]$ é equivalente a encontrar a covariância entre $U$ e $V$ .

Agora, use a propriedade da variância da soma de duas variáveis aleatórias:

\text{Var}(U+V) = \text{Var}(U) + \text{Var}(V) + 2\text{Cov}(U,V)

Sabemos que, para a normal padrão, $\text{Var}(U) = \text{Var}(V) = 1$ . O enunciado informa que o desvio-padrão da soma é 1,5, logo a variância da soma é $1,5^2 = 2,25$ . Substituindo:

2,25 = 1 + 1 + 2\text{Cov}(U,V)

2,25 = 2 + 2\text{Cov}(U,V)

2\text{Cov}(U,V) = 0,25

\text{Cov}(U,V) = 0,125

Portanto, $E[UV] = 0,125$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca não informa que $U$ e $V$ são independentes — e isso é proposital. Muitos candidatos assumem independência e respondem $E[UV] = E[U]E[V] = 0$ , mas essa alternativa nem existe. A questão quer que você use a relação entre a variância da soma e a covariância. Se as variáveis fossem independentes, a covariância seria zero e o desvio-padrão da soma seria $\sqrt{2} \approx 1,41$ , não 1,5. O valor 1,5 é a pista de que há correlação positiva entre $U$ e $V$ .

1E[UV] = Cov(U,V)
2Var(U+V) = 2 + 2Cov
32,25 = 2 + 2Cov
4Cov = 0,125

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor −0,25 seria obtido se você confundisse a fórmula da variância da soma, usando $\text{Var}(U+V) = \text{Var}(U) + \text{Var}(V) - 2\text{Cov}(U,V)$ (sinal trocado). Isso levaria a $2,25 = 2 - 2\text{Cov}(U,V)$ , resultando em $\text{Cov}(U,V) = -0,125$ , e não −0,25. Além disso, o sinal negativo indicaria correlação negativa, o que contraria o fato de a variância da soma ser maior que a soma das variâncias individuais (2,25 > 2).

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor −0,125 é o resultado de usar o sinal errado na fórmula da variância da soma: $2,25 = 2 - 2\text{Cov}(U,V)$ → $\text{Cov}(U,V) = -0,125$ . O erro está no sinal: a fórmula correta tem o termo $+2\text{Cov}(U,V)$ . Como a variância da soma é maior que a soma das variâncias (2,25 > 2), a covariância deve ser positiva.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $E[UV] = \text{Cov}(U,V) = 0,125$ . A resolução usa a identidade $\text{Var}(U+V) = \text{Var}(U) + \text{Var}(V) + 2\text{Cov}(U,V)$ e o fato de que, para variáveis com média zero, a covariância é igual à esperança do produto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0,25 é a metade do valor correto? Não exatamente. Ele surge se você esquecer de dividir por 2 ao isolar a covariância: $2,25 = 2 + 2\text{Cov}(U,V)$ → $2\text{Cov}(U,V) = 0,25$ → se você parar aqui, acha 0,25. O passo final de dividir por 2 é essencial.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 0,5 é o dobro do correto. Pode surgir se você calcular a covariância como $\frac{\text{Var}(U+V) - \text{Var}(U) - \text{Var}(V)}{1}$ em vez de dividir por 2, ou se confundir a fórmula da variância da soma com $\text{Var}(U+V) = \text{Var}(U) + \text{Var}(V) + \text{Cov}(U,V)$ (sem o fator 2).

Gabarito: letra C