Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2026 | Questão sqc-ce227821

Distribuição de Poisson: soma de variáveis independentes

Gabarito: letra B. Como X, Y e Z são independentes, a probabilidade conjunta de T = 0 (ou seja, X = 0, Y = 0 e Z = 0 simultaneamente) é o produto das probabilidades individuais: P(X=0) · P(Y=0) · P(Z=0). Para uma Poisson com média λ, P(k=0) = e^(−λ), logo o resultado é e^(−1) × e^(−2) × e^(−3).

A distribuição de Poisson modela a contagem de eventos raros em um intervalo fixo, com parâmetro λ igual à taxa média de ocorrência. Sua função de probabilidade é P(X = k) = (e^(−λ) · λ^k) / k!. Quando k = 0, a expressão se reduz a e^(−λ), pois λ^0 = 1 e 0! = 1. Esse é o ponto central da questão: a probabilidade de nenhum atendimento em uma fila é simplesmente o exponencial negativo da média.

A independência entre as filas é o que permite multiplicar as probabilidades. Se as variáveis não fossem independentes, seria necessário conhecer a estrutura de dependência (covariância) para calcular a probabilidade conjunta — informação que o enunciado não fornece. A independência é garantida pelo texto: "as filas funcionam de forma independente e simultânea".

A pegadinha da banca está em confundir a operação correta: como o evento T = 0 exige que TODAS as três filas tenham zero atendimentos, a interseção de eventos independentes usa o produto (regra do "e"). A alternativa A, por exemplo, soma as probabilidades, o que corresponderia à união de eventos mutuamente exclusivos — um erro conceitual clássico.

Atendimentos por minuto em três filas — só Fila X: e^-1; só Fila Y: e^-2; só Fila Z: e^-3; Fila X∩Fila Y: 0; Fila X∩Fila Z: 0; Fila Y∩Fila Z: 0; Fila X∩Fila Y∩Fila Z: e^-1 × e^-2 × e^-3

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta a soma das probabilidades individuais: e^(−1) + e^(−2) + e^(−3). Isso seria correto apenas se os eventos fossem mutuamente exclusivos (não podem ocorrer juntos), o que não é o caso: as três filas podem ter zero atendimentos simultaneamente. A soma viola a independência e a interseção exigida.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como X, Y e Z são independentes, P(T = 0) = P(X = 0) · P(Y = 0) · P(Z = 0). Para cada Poisson, P(k = 0) = e^(−λ), então o produto é e^(−1) × e^(−2) × e^(−3). A multiplicação é a operação correta para a interseção de eventos independentes.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Inclui os coeficientes 1, 2 e 3 multiplicando os exponenciais. Esses números são as médias λ, mas não aparecem na probabilidade de k = 0 — eles entrariam no cálculo de P(X = k) para k > 0, via λ^k. Para k = 0, o fator λ^0 = 1, então os coeficientes são espúrios.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Divide os exponenciais por 2 e 6, sugerindo uma combinação de probabilidades de diferentes valores de k (como P(X=1) ou P(X=2)), mas o evento pedido é T = 0, que só envolve k = 0. Os denominadores não têm fundamento no cálculo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Multiplica corretamente os exponenciais, mas divide o resultado por 12. Esse divisor não tem justificativa: a probabilidade de T = 0 não envolve nenhuma divisão por fatorial ou combinação. O 12 poderia vir de 3! ou de 1×2×3, mas não se aplica aqui.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre soma e produto de probabilidades. Quando o evento é "T = 0", que exige que todas as filas tenham zero atendimentos, a interseção de eventos independentes usa o produto (regra do "e"). A alternativa A tenta induzir ao erro com a soma, que valeria para a união de eventos mutuamente exclusivos. Fique atento: leia o evento como "X = 0 E Y = 0 E Z = 0" e multiplique.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de Poisson, decore a probabilidade de k = 0: é sempre e^(−λ). Quando houver soma de variáveis independentes, lembre-se de que a probabilidade conjunta é o produto das marginais. Na prova, identifique a operação correta (produto para interseção, soma para união) antes de calcular.

Gabarito: letra B.