Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2026 | Questão sqc-ce227822

Cálculo de momentos de uma variável aleatória simétrica

Gabarito: letra E (19). A condição $P(W > c) = P(W < -c)$ para todo $c$ real indica que a distribuição de $W$ é simétrica em torno de zero, o que implica $E(W) = 0$ e $E(W^3) = 0$ . Usando a definição de variância, $Var(W) = E(W^2) - [E(W)]^2 = 3$ , logo $E(W^2) = 3$ . Analogamente, $Var(W^2) = E(W^4) - [E(W^2)]^2 = 10$ , donde $E(W^4) = 10 + 3^2 = 19$ .

A questão explora a relação entre momentos e variância, um tópico central em Estatística. A condição de simetria é a chave: ela garante que os momentos ímpares de $W$ (como $E(W)$ e $E(W^3)$ ) são nulos, pois a função densidade (ou massa de probabilidade) é par, e a integral de uma função ímpar sobre um domínio simétrico é zero. Isso simplifica os cálculos, pois não precisamos conhecer a distribuição exata de $W$ .

A variância de uma variável aleatória $X$ é definida como $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ . Aplicando essa definição a $X = W$ e a $X = W^2$ , obtemos um sistema de equações que nos permite isolar $E(W^4)$ diretamente, sem precisar de mais informações sobre a distribuição.

A pegadinha comum é esquecer que $E(W^2)$ não é igual a $[E(W)]^2$ ; na verdade, $E(W^2) = Var(W) + [E(W)]^2$ . Como $E(W) = 0$ , temos $E(W^2) = Var(W) = 3$ . O mesmo raciocínio se aplica a $W^2$ : $E(W^4) = Var(W^2) + [E(W^2)]^2$ .

1Simetria ⇒ E(W)=0
2E(W²)=Var(W)=3
3Var(W²)=E(W⁴)−[E(W²)]²
4E(W⁴)=10+3²=19

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,5 não corresponde a nenhum momento ou combinação dos dados fornecidos. Provavelmente, o candidato confundiu a condição de simetria com uma distribuição uniforme ou cometeu erro aritmético ao calcular $E(W^4)$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 1 não tem relação com os dados. Pode surgir de um erro ao considerar $E(W^4) = [E(W^2)]^2 = 9$ (o que daria 9, não 1) ou de uma confusão com a variância de $W^2$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 7 é um distrator plausível: pode vir de $E(W^4) = Var(W^2) + Var(W) = 10 + 3 = 13$ (que é a alternativa D) ou de um cálculo incorreto como $E(W^4) = Var(W^2) + E(W^2) = 10 + 3 = 13$ (novamente D). O 7 pode surgir de $E(W^4) = Var(W^2) - E(W^2) = 10 - 3 = 7$ , invertendo o sinal da fórmula.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 13 é um distrator comum: $Var(W^2) + Var(W) = 10 + 3 = 13$ . O erro está em usar $Var(W)$ em vez de $[E(W^2)]^2$ na fórmula de $E(W^4)$ . A fórmula correta é $E(W^4) = Var(W^2) + [E(W^2)]^2$ , e não $Var(W^2) + Var(W)$ .

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como $E(W) = 0$ (simetria), temos $E(W^2) = Var(W) = 3$ . Aplicando a definição de variância a $W^2$ : $Var(W^2) = E(W^4) - [E(W^2)]^2$ . Substituindo os valores: $10 = E(W^4) - 3^2$ , logo $E(W^4) = 10 + 9 = 19$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre $E(W^2)$ e $[E(W)]^2$ . Muitos candidatos esquecem que $E(W^2) = Var(W) + [E(W)]^2$ e, como $E(W) = 0$ , acabam usando $E(W^2) = 3$ corretamente, mas depois erram ao calcular $E(W^4)$ usando $Var(W)$ em vez de $[E(W^2)]^2$ . A alternativa D (13) é a armadilha clássica: $10 + 3 = 13$ , quando o correto é $10 + 9 = 19$ . Fique atento: a variância de $W^2$ é $E(W^4) - [E(W^2)]^2$ , não $E(W^4) - Var(W)$ .

PEGA ESSA DICA!

Sempre que a questão fornecer variâncias de funções de uma variável, escreva a definição $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ para cada caso. Monte um sistema de equações e resolva passo a passo. Para variáveis simétricas em torno de zero, lembre-se: momentos ímpares são zero, o que simplifica muito os cálculos.

Gabarito: letra E