Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2026

Função densidade de probabilidade a partir da função de sobrevivência

Gabarito: letra D. A função de sobrevivência é $S(x) = P(X > x) = e^{-3\sqrt{x}}$; a densidade é $f(x) = -S'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} e^{-3\sqrt{x}}$, que corresponde à alternativa D. A relação fundamental é que a densidade é a derivada da função de distribuição acumulada, e a função de sobrevivência é o complemento dela.

A questão fornece a probabilidade de cauda superior (função de sobrevivência) e pede a função densidade. Para uma variável aleatória contínua, a função de distribuição acumulada é $F(x) = P(X \leq x) = 1 - P(X > x) = 1 - e^{-3\sqrt{x}}$. A densidade é a derivada de $F$: $f(x) = \frac{d}{dx}F(x) = -\frac{d}{dx}S(x)$. Derivando $S(x) = e^{-3\sqrt{x}}$ pela regra da cadeia: $\frac{d}{dx}(-3\sqrt{x}) = -\frac{3}{2\sqrt{x}}$, logo $f(x) = -e^{-3\sqrt{x}} \cdot \left(-\frac{3}{2\sqrt{x}}\right) = \frac{3}{2\sqrt{x}} e^{-3\sqrt{x}}$. Note que a densidade é positiva, como deve ser, e a alternativa D é a única que apresenta exatamente essa expressão.

A pegadinha clássica é esquecer o sinal negativo da derivada ou errar a derivada de $\sqrt{x}$ (que é $\frac{1}{2\sqrt{x}}$), levando a coeficientes como $3$ ou $-3$ em vez de $\frac{3}{2}$. Além disso, é comum confundir a função de sobrevivência com a própria densidade, marcando a alternativa A.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $f(x) = e^{-3\sqrt{x}}$, que é exatamente a função de sobrevivência $S(x)$, não a densidade. A densidade é a derivada negativa da sobrevivência, não a própria função. Quem marca esta opção confunde a probabilidade de cauda com a densidade.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $f(x) = -3x e^{-3\sqrt{x}}$. O coeficiente $-3x$ não corresponde à derivada de $-3\sqrt{x}$ (que é $-\frac{3}{2\sqrt{x}}$). Parece uma tentativa de derivar sem aplicar corretamente a regra da cadeia, trocando a derivada de $\sqrt{x}$ por $x$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $f(x) = -3\sqrt{x} \, e^{-3\sqrt{x}}$. O fator $-3\sqrt{x}$ também não é a derivada correta; além disso, a densidade deve ser não negativa, e essa expressão é negativa para todo $x > 0$, o que a invalida como densidade.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta $f(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} e^{-3\sqrt{x}}$, que é exatamente a derivada de $F(x) = 1 - e^{-3\sqrt{x}}$: $f(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} e^{-3\sqrt{x}}$. O coeficiente $\frac{3}{2}$ vem da derivada de $3\sqrt{x}$, e o sinal positivo garante que a densidade é não negativa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $f(x) = 3\sqrt{x} \, e^{-3\sqrt{x}}$. O fator $3\sqrt{x}$ não é a derivada correta; a derivada de $3\sqrt{x}$ é $\frac{3}{2\sqrt{x}}$, não $3\sqrt{x}$. Além disso, essa expressão não integra a 1 no domínio, o que a descarta.

Gabarito: letra D.