Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2026 | Questão sqc-ce227907

Correlação linear entre variáveis: aplicação da variância da soma

Gabarito: letra E (–0,5). A correlação entre B e C é negativa e igual a –0,5, obtida pela expansão da variância da soma $\text{Var}(A+B+C)$ e pela relação entre covariância e correlação. O cálculo usa as variâncias dadas e as correlações conhecidas entre A e B e entre A e C, resolvendo a equação resultante para a covariância entre B e C.

A questão explora a relação entre variância da soma de variáveis aleatórias e as covariâncias entre elas. Para três variáveis, a variância da soma é:

\text{Var}(A+B+C) = \text{Var}(A) + \text{Var}(B) + \text{Var}(C) + 2\text{Cov}(A,B) + 2\text{Cov}(A,C) + 2\text{Cov}(B,C)

Substituindo os valores fornecidos:

13 = 1 + 4 + 9 + 2\text{Cov}(A,B) + 2\text{Cov}(A,C) + 2\text{Cov}(B,C)

13 = 14 + 2[\text{Cov}(A,B) + \text{Cov}(A,C) + \text{Cov}(B,C)]

-1 = 2[\text{Cov}(A,B) + \text{Cov}(A,C) + \text{Cov}(B,C)]

\text{Cov}(A,B) + \text{Cov}(A,C) + \text{Cov}(B,C) = -0,5

Agora, usamos a definição de correlação: $\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\text{Var}(Y)}}$ . Assim:

$\rho_{AB} = 0,5 \Rightarrow \text{Cov}(A,B) = 0,5 \cdot \sqrt{1 \cdot 4} = 0,5 \cdot 2 = 1$
$\rho_{AC} = 0,5 \Rightarrow \text{Cov}(A,C) = 0,5 \cdot \sqrt{1 \cdot 9} = 0,5 \cdot 3 = 1,5$

Substituindo na equação anterior:

1 + 1,5 + \text{Cov}(B,C) = -0,5

\text{Cov}(B,C) = -0,5 - 2,5 = -3

Finalmente, a correlação entre B e C é:

\rho_{BC} = \frac{\text{Cov}(B,C)}{\sqrt{\text{Var}(B)\text{Var}(C)}} = \frac{-3}{\sqrt{4 \cdot 9}} = \frac{-3}{6} = -0,5

Portanto, a correlação linear entre B e C é –0,5, o que corresponde à alternativa E.

1Var(A+B+C) = ΣVar + 2ΣCov
2ΣCov = −0,5
3Cov(A,B) = 1; Cov(A,C) = 1,5
4Cov(B,C) = −3
5ρ(B,C) = −3/6 = −0,5

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Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a correlação é 1,0. Esse valor indicaria correlação linear perfeita positiva, o que não é compatível com os dados. O cálculo correto resulta em –0,5, um valor negativo, indicando relação inversa moderada.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a correlação é 0,5. Esse é o valor das correlações entre A e B e entre A e C, mas não entre B e C. A banca tenta confundir o candidato ao repetir o valor já fornecido, mas a correlação entre B e C é negativa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a correlação é 0,0. Isso indicaria independência linear entre B e C, o que não ocorre. O cálculo mostra uma covariância de –3, resultando em correlação de –0,5.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a correlação é –0,25. Esse valor não corresponde ao resultado do cálculo. A covariância entre B e C é –3, e a correlação é –0,5, não –0,25.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A correlação linear entre B e C é –0,5, conforme demonstrado pelo desenvolvimento completo: a variância da soma fornece a soma das covariâncias, e as correlações conhecidas permitem isolar a covariância entre B e C, que resulta em –3; dividindo pelo produto dos desvios padrão (2 × 3 = 6), obtém-se –0,5.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre correlação e covariância. O candidato pode tentar usar diretamente as correlações fornecidas (0,5) sem convertê-las em covariâncias, ou esquecer que a variância da soma inclui os termos de covariância multiplicados por 2. Lembre-se: a correlação é uma covariância padronizada, e a variância da soma de três variáveis envolve todas as covariâncias par a par.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões desse tipo, siga o roteiro: (1) escreva a fórmula da variância da soma; (2) substitua os valores conhecidos; (3) converta as correlações em covariâncias usando $\text{Cov}(X,Y) = \rho_{XY} \sqrt{\text{Var}(X)\text{Var}(Y)}$ ; (4) isole a covariância desconhecida; (5) calcule a correlação pedida. Esse método vale para qualquer combinação de variáveis.

Gabarito: letra E