Questão de Estatística — Amostragem — CESPE / CEBRASPE 2026

Tamanho da amostra para estimar uma proporção

Gabarito: ERRADO. A relação entre o tamanho da amostra $n$ e a estimativa inicial da proporção $p$ não é monotonicamente crescente: a função $p(1-p)$ atinge seu máximo em $p = 0{,}5$ e é simétrica em torno desse ponto. Assim, fixados o nível de confiança ($z_\gamma$) e o erro ($e$), o tamanho da amostra será tanto maior quanto mais próxima de 0,5 estiver a estimativa inicial, e não simplesmente "quanto maior for" essa estimativa. A afirmativa ignora que, para $p > 0{,}5$, aumentar $p$ faz $p(1-p)$ diminuir, reduzindo $n$.

A fórmula fornecida no enunciado é a clássica para o tamanho de amostra em estimação de proporção por amostragem aleatória simples (sem correção para população finita):

em que $z_\gamma$ é o quantil da normal padrão associado ao nível de confiança $\gamma$, $p$ é a estimativa inicial da proporção populacional e $e$ é o erro máximo de estimação. O termo que depende de $p$ é o produto $p(1-p)$, uma parábola com concavidade para baixo, cujo valor máximo ocorre em $p = 0{,}5$:

• $p = 0{,}1 \Rightarrow p(1-p) = 0{,}09$

• $p = 0{,}5 \Rightarrow p(1-p) = 0{,}25$ (máximo)

• $p = 0{,}9 \Rightarrow p(1-p) = 0{,}09$

Portanto, para $p$ entre 0 e 0,5, $n$ cresce com $p$; para $p$ entre 0,5 e 1, $n$ decresce com $p$. A afirmativa diz que "será tanto maior quanto maior for a estimativa inicial", o que só vale na primeira metade do intervalo — e falha completamente quando $p > 0{,}5$. Por isso, o item está errado.

Item — ❌ ERRADO

A afirmativa está incorreta porque generaliza indevidamente. A relação entre $n$ e $p$ não é crescente em todo o domínio. Como demonstrado, $p(1-p)$ é máximo em $p=0{,}5$ e decresce para valores de $p$ acima de 0,5. Assim, por exemplo, com $z_\gamma = 1{,}96$ e $e = 0{,}05$:

• $p = 0{,}5 \Rightarrow n = \frac{1{,}96^2 \cdot 0{,}25}{0{,}05^2} = 384{,}16 \approx 385$

• $p = 0{,}8 \Rightarrow n = \frac{1{,}96^2 \cdot 0{,}16}{0{,}05^2} = 245{,}86 \approx 246$

Ou seja, aumentar a estimativa de 0,5 para 0,8 reduz o tamanho da amostra. A afirmativa só seria verdadeira se restrita a $p \leq 0{,}5$, mas o enunciado não impõe essa condição. Portanto, o item é ERRADO.

Gabarito: ERRADO.