GabaritoB — 152.
Gabarito: letra B — a conta chega a 152 diagonais (alternativa B).
Um polígono convexo é uma figura plana fechada com lados retos e todos os ângulos internos menores que 180°. Quando traçamos todas as diagonais a partir de um único vértice, o polígono fica dividido em triângulos. Essa decomposição é útil para calcular propriedades como a soma dos ângulos internos e o número de diagonais. O número de triângulos formados é sempre igual ao número de lados menos 2, ou seja, n-2. Isso acontece porque, ao ligar um vértice a todos os outros não adjacentes, criamos uma sequência de triângulos que 'cobre' o polígono. Já o número total de diagonais de um polígono de n lados é dado por d = n(n-3)/2. Essa fórmula vem do total de pares de vértices (combinação de n dois a dois) menos os n lados, pois cada diagonal é um segmento entre dois vértices não consecutivos. Nesta questão, o número de triângulos (17) nos permite descobrir quantos lados tem o polígono, e com isso calculamos as diagonais.
número de triângulos formados = 17
O que queremos: o número total de diagonais do polígono
Precisamos saber quantos lados tem o polígono, pois a fórmula do número de diagonais depende de n. A decomposição em triângulos a partir de um vértice nos dá essa relação: o número de triângulos é sempre n-2. Isso é uma propriedade geral dos polígonos convexos: ao traçar todas as diagonais de um vértice, o polígono fica dividido em exatamente n-2 triângulos, porque cada triângulo usa um lado do polígono ou uma diagonal, e a sequência cobre toda a área.
Por que esta fórmula: A relação entre o número de triângulos (T) e o número de lados (n) é T = n - 2. Essa é a fórmula clássica da decomposição de um polígono convexo a partir de um vértice. Não é outra fórmula porque é a que liga diretamente o dado do enunciado (17 triângulos) ao que precisamos (n).
De onde vem cada valor: = enunciado: 17 triângulos · = incógnita: número de lados
Confundir o número de triângulos com o número de diagonais que partem de um vértice (n-3). Se usar 17 = n-3, obteria n=20, o que levaria a um valor que não está nas alternativas.
Agora que sabemos que o polígono tem 19 lados, podemos usar a fórmula do número de diagonais. Essa fórmula conta todos os segmentos que ligam dois vértices não consecutivos. Ela é necessária porque queremos exatamente isso: o total de diagonais do polígono.
Por que esta fórmula: A fórmula d = n(n-3)/2 é a padrão para o número de diagonais de um polígono convexo. Ela vem do total de pares de vértices (combinação de n dois a dois) menos os n lados, pois cada diagonal é um par de vértices não adjacentes. Não há outra fórmula que dê diretamente esse número.
De onde vem cada valor: = passo 1: 19 · = passo 1: 19 - 3 = 16
Esquecer de dividir por 2, obtendo 19·16 = 304 (alternativa D). A divisão por 2 é essencial porque cada diagonal é contada duas vezes quando se considera todos os pares de vértices.
Resposta: 152 diagonais (alternativa B)
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