GabaritoD — 2πr³√2/3
Gabarito: letra D — a conta chega a V = 2πr³√2/3, alternativa D.
O cone circular reto é um sólido com base circular e vértice acima do centro da base. Suas medidas principais são o raio r, a altura h e a geratriz g (a distância do vértice a um ponto da borda da base). A área lateral é a superfície curva, calculada por π·r·g, e a área da base é π·r². O volume mede o espaço interno e é dado por (1/3)·π·r²·h. A relação entre r, h e g é o Teorema de Pitágoras: g² = r² + h², pois o triângulo formado por esses três segmentos é retângulo. Nesta questão, a condição sobre as áreas permite achar g em função de r, e com Pitágoras obtemos h, que é necessário para o volume.
área lateral = 3 × área da base
raio da base = r
O que queremos: o volume do cone em função de r
O enunciado dá uma relação entre as áreas. Precisamos transformar essa relação em uma equação que envolva as medidas do cone, para descobrir a geratriz em função do raio.
Por que esta fórmula: A área lateral de um cone é π·r·g e a área da base é π·r². Como a lateral é o triplo da base, escrevemos π·r·g = 3·π·r².
De onde vem cada valor: = fórmula da área lateral do cone · = enunciado: área lateral = 3 × área da base, e área da base = π·r²
Esquecer o fator 3 ou confundir área lateral com área total.
Com a equação montada, precisamos descobrir quanto vale g, pois ela aparece na relação de Pitágoras. Dividir ambos os lados por π·r simplifica a equação.
Por que esta fórmula: Para isolar g, dividimos os dois lados da equação por π·r (que é positivo, pois r > 0). Isso cancela π e r do lado esquerdo, deixando g sozinho.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 1: após dividir por π·r
Dividir apenas por π, esquecendo o r, ou errar a simplificação.
O volume depende da altura h, que ainda não conhecemos. No cone reto, a geratriz, o raio e a altura formam um triângulo retângulo, então usamos o Teorema de Pitágoras para relacioná-los.
Por que esta fórmula: A relação fundamental do cone é g² = r² + h². Isolando h², temos h² = g² - r². Substituímos g por 3r para obter h em função de r.
De onde vem cada valor: = passo 2: g = 3r · = enunciado: raio da base = r
Esquecer de elevar ao quadrado o 3r, ou errar a simplificação de √8.
Agora temos a altura h em função de r. O volume do cone é dado pela fórmula que usa a área da base e a altura, então substituímos os valores conhecidos.
Por que esta fórmula: O volume de um cone é um terço do volume de um cilindro de mesma base e altura, por isso V = (1/3)·π·r²·h. Essa é a fórmula padrão.
De onde vem cada valor: = fórmula do volume do cone · = área da base (enunciado: círculo de raio r) · = passo 3: h = 2r√2
Esquecer o fator 1/3, ou errar a multiplicação de r² por r (que dá r³).
Resposta: V = 2πr³√2/3, alternativa D
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