Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2026 | Questão sqc-ce231774

Geometria Plana: tangência e área do círculo

Gabarito: letra B. A área coberta pela antena é $64\pi$ km². A chave está em perceber que a estrada tangente forma um triângulo retângulo com o raio da circunferência e a distância do ponto P ao centro: o raio é perpendicular à tangente no ponto de tangência, e a distância de P ao centro é a hipotenusa. Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos o raio $r = 8$ km, e a área do círculo é $A = \pi r^2 = 64\pi$ km².

Vamos montar a figura mentalmente: a torre está no centro O da circunferência; a estrada é uma reta tangente que toca a circunferência no ponto T. O técnico está no ponto P, sobre a estrada. O enunciado informa que P está a 17 km da base da antena (ou seja, $PO = 17$ km) e a 15 km do ponto de tangência ( $PT = 15$ km). Como a reta é tangente, o raio $OT$ é perpendicular à estrada no ponto T, formando um ângulo reto. Assim, o triângulo $POT$ é retângulo em T, com hipotenusa $PO = 17$ km e cateto $PT = 15$ km. O outro cateto é o raio $OT = r$ .

Pelo Teorema de Pitágoras:

PO^2 = PT^2 + OT^2

17^2 = 15^2 + r^2

289 = 225 + r^2

r^2 = 64 \Rightarrow r = 8 \text{ km}

A área do círculo é:

A = \pi r^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi \text{ km}^2

A pegadinha clássica aqui é o candidato confundir as distâncias: usar 17 km como se fosse o raio, ou 15 km como se fosse o diâmetro. Vamos analisar cada alternativa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

4π km². Esse valor corresponderia a um raio de 2 km ( $A = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ ). Não há relação com os dados do problema: o raio encontrado é 8 km, não 2 km. O candidato que marcasse esta opção provavelmente errou ao montar o triângulo ou aplicou a fórmula da área de forma incorreta.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

64π km². Este é o valor correto. O raio da circunferência é 8 km, obtido pelo Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pela tangente, o raio e a distância do ponto P ao centro. A área do círculo é $A = \pi r^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi$ km².

Alternativa C — ❌ Incorreta

255π km². Esse valor não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados. Se o candidato multiplicasse 17 por 15, obteria 255, mas isso não representa a área do círculo. A área é $\pi r^2$ , e o raio é 8 km, não o produto das distâncias.

Alternativa D — ❌ Incorreta

514π km². Esse valor também não tem relação com os dados. Poderia surgir de um erro como calcular $17^2 + 15^2 = 514$ , mas isso não é a área do círculo. A área é $\pi r^2$ , e o raio é 8 km.

Alternativa E — ❌ Incorreta

1.024π km². Esse valor corresponderia a um raio de 32 km ( $A = \pi \cdot 32^2 = 1024\pi$ ). O candidato que marcasse esta opção provavelmente usou 17 km como diâmetro e depois elevou ao quadrado de forma incorreta, ou confundiu o raio com o dobro da distância.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta fazer o candidato usar as distâncias diretamente como raio ou diâmetro. O ponto crucial é identificar o triângulo retângulo: a tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência, então o triângulo $POT$ é retângulo em T. A hipotenusa é $PO = 17$ km, e o cateto é $PT = 15$ km. O raio é o outro cateto, que sai por Pitágoras: $r = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$ km. Com treino, você enxerga essa estrutura de longe 💪.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de tangência, sempre desenhe o raio até o ponto de tangência — ele forma ângulo reto com a reta tangente. Isso transforma o problema em um triângulo retângulo, e o Teorema de Pitágoras resolve. Lembre-se: a área do círculo é $A = \pi r^2$ , e o raio é a distância do centro até a circunferência, não a distância do ponto externo até o centro.

Gabarito: letra B.