Questão de Matemática — Geometria Plana — CESPE / CEBRASPE 2026

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 70 km (alternativa D).

A ideia por trás

A Lei dos Cossenos é uma ferramenta da geometria que relaciona os três lados de um triângulo qualquer com um de seus ângulos. Ela generaliza o Teorema de Pitágoras para triângulos que não são retângulos, permitindo calcular um lado desconhecido quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles. A fórmula é a² = b² + c² - 2bc·cos(θ), onde a é o lado oposto ao ângulo θ. Quando θ = 90°, cos(θ) = 0 e a fórmula se reduz a a² = b² + c², que é o Teorema de Pitágoras. Nesta questão, temos dois lados (50 km e 80 km) e o ângulo entre eles (60°), então aplicamos a Lei dos Cossenos para encontrar o terceiro lado, que é a distância entre os aviões.

O que a questão dá

• distância do avião A ao aeroporto = 50 km

• distância do avião B ao aeroporto = 80 km

• ângulo entre as linhas de visada = 60°

O que queremos: a distância entre os aviões A e B

Passo 1 — Desenhar o triângulo formado

Para visualizar o problema, desenhamos um triângulo onde o aeroporto é um vértice e os aviões A e B são os outros dois. Os lados conhecidos são as distâncias de cada avião ao aeroporto, e o ângulo entre eles é de 60°. Isso nos ajuda a identificar qual lado queremos calcular: a distância entre A e B, que é o lado oposto ao ângulo de 60°.

Passo 2 — Escolher a Lei dos Cossenos

Temos dois lados e o ângulo entre eles, e queremos o terceiro lado. A Lei dos Cossenos é a relação que liga exatamente esses elementos: ela permite calcular o lado oposto ao ângulo conhecido. Não podemos usar Pitágoras porque o triângulo não é retângulo (o ângulo é 60°, não 90°).

Por que esta fórmula: A Lei dos Cossenos é a generalização do Teorema de Pitágoras para qualquer triângulo. Ela é a única fórmula que relaciona dois lados, o ângulo entre eles e o lado oposto a esse ângulo.

De onde vem cada valor: $d$ = lado oposto ao ângulo de 60°, que é a distância entre os aviões · $50$ = enunciado: distância do avião A ao aeroporto · $80$ = enunciado: distância do avião B ao aeroporto · $60°$ = enunciado: ângulo entre as linhas de visada

Passo 3 — Calcular o cosseno de 60°

Precisamos do valor de cos(60°) para substituir na fórmula. Esse é um valor trigonométrico notável que devemos saber: cos(60°) = 1/2. Isso simplifica a conta.

Por que esta fórmula: O cosseno de um ângulo é uma razão trigonométrica que, para ângulos notáveis como 30°, 45° e 60°, tem valores exatos conhecidos.

De onde vem cada valor: $60°$ = enunciado: ângulo entre as linhas de visada

Passo 4 — Substituir o cosseno na fórmula

Agora que sabemos cos(60°) = 1/2, substituímos na Lei dos Cossenos para obter uma expressão numérica. Isso nos permite calcular d².

Por que esta fórmula: Substituir o valor do cosseno é o passo algébrico necessário para simplificar a equação.

De onde vem cada valor: $50^{2}$ = passo 2: 50 · $80^{2}$ = passo 2: 80 · $2 \cdot 50 \cdot 80$ = passo 2: 2·50·80 · $\frac{1}{2}$ = passo 3: cos(60°)

Passo 5 — Calcular os quadrados e o produto

Precisamos calcular os termos numéricos: 50², 80² e o produto 2·50·80·1/2. Isso nos dá uma equação simples para d².

Por que esta fórmula: Cada termo é uma operação aritmética básica: potência e multiplicação.

De onde vem cada valor: $2500$ = 50^2 = 2500 · $6400$ = 80^2 = 6400 · $4000$ = 2·50·80·1/2 = 4000

Passo 6 — Somar e subtrair para achar d²

Agora temos uma expressão aritmética simples. Somamos 2500 + 6400 e subtraímos 4000 para obter o valor de d².

Por que esta fórmula: A soma e a subtração são operações básicas que combinam os termos.

De onde vem cada valor: $8900$ = 2500 + 6400 · $4000$ = passo 5: 4000

Passo 7 — Extrair a raiz quadrada

Temos d² = 4900, e queremos d. A raiz quadrada de 4900 é 70, pois 70² = 4900. Esse é o valor da distância entre os aviões.

Por que esta fórmula: A raiz quadrada é a operação inversa da potência ao quadrado.

De onde vem cada valor: $4900$ = passo 6: d² = 4900

Resposta: 70 km (alternativa D)