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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2026

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
ce231793
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UFAC
Ano
2026
Nível
Médio
Cargo
Vestibular

O engenheiro Daniel de Bruin construiu uma máquina que representa o número googol. A estrutura dessa máquina consiste em 100 engrenagens conectadas em sequência. Cada uma dessas engrenagens está ligada à próxima por um sistema de redução de movimento na proporção de 1 para 10, ou seja, a segunda engrenagem só completará uma volta após a primeira engrenagem ter completado 10 voltas e assim sucessivamente. Segundo essa lógica, o número de rotações da primeira engrenagem necessário para que a última complete uma única volta equivale a 10100, que é o número googol. A primeira engrenagem completa 1.000 voltas por hora, o que faz com que o tempo exigido para que a última engrenagem complete uma única volta seja maior que a idade do universo.

Assinale a opção em que é corretamente apresentado o número total de voltas que todas as engrenagens completam quando a quarta engrenagem da máquina mencionada no texto apresentado anteriormente completa as cinco primeiras voltas.
  1. A4.555
  2. B4.999
  3. C5.111
  4. D5.000
  5. E5.555
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 5.555

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 5.555 voltas (alternativa E).

A ideia por trás

Em um sistema de engrenagens acopladas, a rotação é transmitida de uma para a outra de forma inversamente proporcional ao número de dentes. Quando uma engrenagem gira, ela faz a seguinte girar em sentido contrário, e a velocidade de rotação é determinada pela razão entre os números de dentes. Nesta questão, a razão é de 1 para 10: para cada volta da engrenagem seguinte, a anterior dá 10 voltas. Isso significa que as voltas de cada engrenagem formam uma progressão geométrica de razão 10, mas em ordem decrescente quando olhamos da última para a primeira. A questão pede o total de voltas de todas as engrenagens, então precisamos calcular as voltas de cada uma e somá-las.

O que a questão dá

  • quarta engrenagem: 5 voltas

  • proporção: cada engrenagem gira 10 vezes mais que a seguinte

O que queremos: o total de voltas de todas as engrenagens quando a quarta completa 5 voltas

Passo 1 — Calcular as voltas da terceira engrenagem

A terceira engrenagem está imediatamente antes da quarta. Como cada engrenagem gira 10 vezes mais que a seguinte, para a quarta dar 5 voltas, a terceira precisa dar 5 × 10 = 50 voltas. Precisamos desse valor para continuar a sequência.

Por que esta fórmula: A relação entre engrenagens consecutivas é de multiplicação por 10, pois a anterior gira 10 vezes mais. Então, voltas da terceira = voltas da quarta × 10.

V3=V4×10V_3 = V_4 \times 10

De onde vem cada valor: V4V_4 = enunciado: 5 voltas · 1010 = enunciado: proporção de 1 para 10

V3=5×10=50 voltasV_3 = 5 \times 10 = \boxed{50\ \text{voltas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 10 e achar que a terceira também dá 5 voltas.

Passo 2 — Calcular as voltas da segunda engrenagem

A segunda engrenagem está antes da terceira. Seguindo a mesma proporção, para a terceira dar 50 voltas, a segunda dá 50 × 10 = 500 voltas. Esse valor é necessário para a próxima etapa.

Por que esta fórmula: A mesma relação de multiplicação por 10 se aplica entre a segunda e a terceira.

V2=V3×10V_2 = V_3 \times 10

De onde vem cada valor: V3V_3 = passo 1: 50 voltas · 1010 = enunciado: proporção de 1 para 10

V2=50×10=500 voltasV_2 = 50 \times 10 = \boxed{500\ \text{voltas}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 5 em vez de 50, esquecendo o resultado do passo anterior.

Passo 3 — Calcular as voltas da primeira engrenagem

A primeira engrenagem é a última da sequência. Para a segunda dar 500 voltas, a primeira dá 500 × 10 = 5.000 voltas. Agora temos as voltas de todas as engrenagens.

Por que esta fórmula: A relação de multiplicação por 10 se aplica entre a primeira e a segunda.

V1=V2×10V_1 = V_2 \times 10

De onde vem cada valor: V2V_2 = passo 2: 500 voltas · 1010 = enunciado: proporção de 1 para 10

V1=500×10=5.000 voltasV_1 = 500 \times 10 = \boxed{5.000\ \text{voltas}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem e calcular a primeira como 5 × 10 = 50, em vez de multiplicar a partir da segunda.

Passo 4 — Somar as voltas de todas as engrenagens

A questão pede o total de voltas de todas as engrenagens, então precisamos somar as voltas da quarta, terceira, segunda e primeira. Temos todos os valores calculados.

Por que esta fórmula: O total é a soma das voltas individuais de cada engrenagem.

Vtotal=V4+V3+V2+V1V_{total} = V_4 + V_3 + V_2 + V_1

De onde vem cada valor: V4V_4 = enunciado: 5 voltas · V3V_3 = passo 1: 50 voltas · V2V_2 = passo 2: 500 voltas · V1V_1 = passo 3: 5.000 voltas

Vtotal=5+50+500+5000=5.555 voltasV_{total} = 5 + 50 + 500 + 5000 = \boxed{5.555\ \text{voltas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar as voltas das engrenagens intermediárias e marcar apenas 5.000 (voltas da primeira).

Resposta: 5.555 voltas (alternativa E)

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