Um mol de um gás ideal monoatômico está inicialmente em equilíbrio termodinâmico em um recipiente que é fechado e isolado termicamente. Acima do recipiente, há um êmbolo em repouso e em equilíbrio mecânico, mas que pode se mover livremente sem atrito, conforme a figura a seguir.Um corpo de massa igual à do êmbolo é colocado em cima deste, fazendo-o se mover até outro ponto de equilíbrio termodinâmico e mecânico, de modo que o êmbolo fica novamente em repouso, de acordo com a figura subsequente.A partir das informações apresentadas e considerando que a compressão do gás ideal ocorra em um processo quase estático e adiabático e que todo o sistema esteja no vácuo, assinale a opção que corresponde à razão entre a temperatura do gás comprimido em equilíbrio e a temperatura inicial do gás.
A2¹/³
B2³/⁵
C2⁵/⁷
D2²/³
E2²/⁵
Revelar gabarito e comentário▾
GabaritoE — 2²/⁵
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a T_f/T_i = 2^{2/5} — alternativa E.
A ideia por trás
Uma transformação adiabática é aquela em que o gás não troca calor com o ambiente (Q = 0). Como o recipiente é isolado termicamente, todo o trabalho de compressão vira aumento de energia interna, elevando a temperatura. Para um gás ideal, a relação entre pressão e volume é P·V^γ = constante, onde γ é o coeficiente de Poisson, que depende do tipo de gás.
Para um gás ideal monoatômico, os calores específicos são C_v = 3R/2 e C_p = 5R/2, logo γ = C_p/C_v = 5/3. A relação adiabática P·V^γ = constante mostra que, se a pressão dobra, o volume se reduz a uma fração 2^(-1/γ). Combinando com a equação dos gases ideais P·V = n·R·T, obtém-se a relação entre temperaturas: T_f/T_i = (P_f/P_i)^(1 - 1/γ).
Esta questão cobra exatamente essa relação: primeiro descobrir como a pressão muda com o acréscimo do corpo sobre o êmbolo, depois aplicar a relação adiabática para achar a temperatura final.
O que a questão dá
gás ideal monoatômico
1 mol de gás
êmbolo de massa m_e
corpo de massa igual à do êmbolo
processo adiabático quase estático
sistema no vácuo
O que queremos: a razão entre a temperatura final e a inicial do gás
Passo 1 — Descobrir a pressão inicial do gás
O êmbolo está em equilíbrio mecânico: a força que o gás faz para cima (pressão vezes área) equilibra o peso do êmbolo para baixo. Como o sistema está no vácuo, não há pressão atmosférica empurrando de fora. Essa igualdade é o que liga a pressão do gás à massa do êmbolo.
Por que esta fórmula: A pressão é força por área: P = F/A. No equilíbrio, a força do gás é P_i·A e o peso do êmbolo é m_e·g. Igualando os dois, temos P_i·A = m_e·g.
De onde vem cada valor: = definição: pressão inicial do gás · = constante: área do êmbolo · = enunciado: massa do êmbolo · = constante: aceleração da gravidade
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que o sistema está no vácuo e incluir a pressão atmosférica na equação de equilíbrio
Passo 2 — Descobrir a pressão final do gás
Ao colocar o corpo de massa igual à do êmbolo, o peso total sobre o êmbolo dobra. No novo equilíbrio, a força do gás deve equilibrar esse peso dobrado, então a pressão final é o dobro da inicial.
Por que esta fórmula: A mesma condição de equilíbrio do passo 1, agora com o peso total 2·m_e·g: P_f·A = 2·m_e·g. Como P_i·A = m_e·g, temos P_f = 2·P_i.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = enunciado: corpo de massa igual à do êmbolo, então o peso total dobra
NÃO CAIA NESSA!
Achar que a pressão triplica ou que depende da área
Passo 3 — Aplicar a relação adiabática entre pressão e volume
A transformação é adiabática e quase estática, então vale P·V^γ = constante. Com a pressão dobrando, podemos achar o novo volume em função do inicial.
Por que esta fórmula: A relação adiabática P·V^γ = constante é a lei que governa esse tipo de transformação. Isolando V_f, obtemos V_f = V_i·(P_i/P_f)^(1/γ).
V_f = V_i · ((P_i)/(P_f))^1/γ
De onde vem cada valor: = definição: volume inicial do gás · = passo 1 · = passo 2 · = definição: para gás monoatômico, γ = 5/3
V_f = V_i · ((1)/(2))^3/5
V_f = V_i / 2^3/5
NÃO CAIA NESSA!
Usar γ = 7/5 (gás diatômico) em vez de 5/3
Passo 4 — Relacionar as temperaturas com a equação dos gases
A temperatura não aparece diretamente na relação adiabática, mas a equação dos gases ideais P·V = n·R·T liga pressão, volume e temperatura. Como n e R são constantes, a razão das temperaturas é a razão dos produtos P·V.
Por que esta fórmula: Da equação dos gases, T = P·V/(n·R). Para o mesmo gás (n constante), T_f/T_i = (P_f·V_f)/(P_i·V_i).
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 3 · = passo 1 · = definição: volume inicial do gás
Um corpo de massa igual à do êmbolo é colocado em cima deste, fazendo-o se mover até outro ponto de equilíbrio termodinâmico e mecânico, de modo que o êmbolo fica novamente em repouso, de acordo com a figura subsequente.
A partir das informações apresentadas e considerando que a compressão do gás ideal ocorra em um processo quase estático e adiabático e que todo o sistema esteja no vácuo, assinale a opção que corresponde à razão entre a temperatura do gás comprimido em equilíbrio e a temperatura inicial do gás.