Questão de Matemática — Funções — CESPE / CEBRASPE 2026

Função quadrática: vértice e ponto do gráfico

Gabarito: letra C. A função tem vértice em (3,5) e passa por (5,8). Como o vértice é o ponto de mínimo (a concavidade é para cima, pois o ponto (5,8) está acima do vértice), o valor de $c$ (interseção com o eixo y) é maior que 8. Isso é consequência direta da forma canônica $f(x) = a(x-3)^2 + 5$ com $a>0$.

A função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ tem gráfico em forma de parábola. O vértice $(x_v, y_v)$ é o ponto de máximo (se $a<0$) ou de mínimo (se $a>0$). A forma canônica é $f(x) = a(x - x_v)^2 + y_v$. Como o vértice é (3,5), temos $f(x) = a(x-3)^2 + 5$. Como o ponto (5,8) pertence ao gráfico, substituímos: $8 = a(5-3)^2 + 5 \Rightarrow 8 = 4a + 5 \Rightarrow a = \frac{3}{4} > 0$. Portanto, a concavidade é para cima e o vértice é um ponto de mínimo. O valor de $c$ é $f(0) = a(0-3)^2 + 5 = 9a + 5 = 9\cdot\frac{3}{4} + 5 = \frac{27}{4} + 5 = \frac{47}{4} = 11,75$, que é maior que 8. Assim, a alternativa C está correta.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $\Delta > 0$. Como o vértice tem $y_v = 5 > 0$ e a concavidade é para cima, a parábola não intercepta o eixo x (não há raízes reais), logo $\Delta < 0$. O discriminante é $\Delta = b^2 - 4ac$. Calculando com os coeficientes: $a = \frac{3}{4}$, $b = -\frac{9}{2}$ (pois $x_v = -\frac{b}{2a} = 3 \Rightarrow b = -6a = -\frac{9}{2}$), $c = \frac{47}{4}$. Então $\Delta = \left(-\frac{9}{2}\right)^2 - 4\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{47}{4} = \frac{81}{4} - \frac{141}{4} = -\frac{60}{4} = -15 < 0$. Portanto, a afirmação é falsa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $b = 0$. Mas $b = -\frac{9}{2} \neq 0$. O vértice tem abscissa $x_v = -\frac{b}{2a} = 3$, o que implica $b = -6a = -\frac{9}{2}$. Logo, $b$ não é zero.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O gráfico intercepta o eixo vertical no ponto $(0, c)$. Como $c = \frac{47}{4} = 11,75$, que é maior que 8, a afirmação é verdadeira. Isso também pode ser visto geometricamente: como o vértice está em (3,5) e a parábola tem concavidade para cima, o ponto de interseção com o eixo y está acima do vértice, e como o ponto (5,8) está acima do vértice, o valor de $c$ é ainda maior que 8.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o gráfico contém o ponto (1,2). Calculando $f(1) = \frac{3}{4}(1-3)^2 + 5 = \frac{3}{4}\cdot 4 + 5 = 3 + 5 = 8$, não 2. Portanto, o ponto (1,2) não pertence ao gráfico.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a concavidade é para baixo. Como $a = \frac{3}{4} > 0$, a concavidade é para cima. A concavidade para baixo ocorreria se $a < 0$, o que não é o caso.

Gabarito: letra C