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Questão de Matemática — Progressões — CESPE / CEBRASPE 2026

MatemáticaProgressões
Código
ce232274
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
SEMA-AM
Ano
2026
Nível
Superior
Um projeto ambiental desenvolvido por determinada prefeitura visa convencer pessoas a atuarem como voluntárias na remoção de resíduos plásticos despejados em um rio. Na implantação do projeto, os gestores consideraram a possibilidade de, às vezes, pessoas atuarem como voluntárias em dado mês e desistirem posteriormente, além da eventualidade de arrefecimento dos esforços de remoção em razão da má educação de cidadãos que insistem em despejar resíduos plásticos no rio. Como resultado, o saldo estimado da quantidade de resíduos plásticos retirada a cada mês do rio (diferença entre a quantidade de resíduos retirados e a quantidade estimada de novos resíduos descartados no rio) obedece a uma progressão geométrica de quociente −1/3. Nesse modelo, considera-se saldo negativo quando a quantidade de resíduos retirada for inferior à quantidade estimada de novos resíduos descartados no rio.Nessa situação hipotética, se, no primeiro mês de implantação do projeto, o saldo estimado da quantidade de resíduos plásticos retirada for positivo em 90 kg e se o padrão indicado se mantiver indefinidamente, o saldo total acumulado de resíduos plásticos nesse rio ao longo do tempo desde a implantação do projeto será de
  1. A67,5 kg.
  2. B72 kg.
  3. C90 kg.
  4. D112,5 kg.
  5. E135 kg.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 67,5 kg.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 67,5 kg (alternativa A).

A ideia por trás

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão (q). Aqui, o saldo mensal de resíduos retirados segue uma PG com razão -1/3, ou seja, a cada mês o saldo é -1/3 do mês anterior. Isso significa que os saldos vão alternando de sinal e diminuindo em módulo: 90, -30, 10, -10/3, ... . O saldo total acumulado é a soma de todos esses saldos mensais, ou seja, a soma dos infinitos termos da PG.

Para que a soma dos infinitos termos de uma PG seja um número finito, é necessário que o módulo da razão seja menor que 1 (|q| < 1). Neste caso, |-1/3| = 1/3 < 1, então a soma converge. A fórmula para essa soma é S∞ = a1 / (1 - q), onde a1 é o primeiro termo e q é a razão. Essa fórmula vem do fato de que, quando |q| < 1, os termos vão ficando cada vez menores e a soma se aproxima de um valor limite.

Nesta questão, precisamos aplicar essa fórmula com a1 = 90 kg e q = -1/3. O sinal negativo da razão faz com que o denominador 1 - q seja 1 - (-1/3) = 4/3, e não 2/3. É exatamente esse detalhe que diferencia a resposta correta (67,5 kg) das alternativas erradas.

O que a questão dá

  • primeiro termo (saldo do 1º mês) = 90 kg

  • razão da PG = -1/3

O que queremos: o saldo total acumulado de resíduos plásticos ao longo do tempo (soma dos infinitos termos da PG)

Passo 1 — Reconhecer a progressão geométrica

O enunciado diz que o saldo mensal obedece a uma progressão geométrica de quociente -1/3. Isso significa que cada saldo mensal é o anterior multiplicado por -1/3. Precisamos identificar o primeiro termo e a razão para usar a fórmula da soma.

NÃO CAIA NESSA!

Não confundir o primeiro termo com a soma total: o primeiro saldo é 90 kg, mas a soma acumulada é diferente.

Passo 2 — Verificar a convergência da série

A soma dos infinitos termos de uma PG só existe (é finita) se o módulo da razão for menor que 1. Aqui, |q| = |-1/3| = 1/3 < 1, então a série converge e podemos usar a fórmula da soma infinita.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de verificar a condição |q| < 1; se |q| ≥ 1, a soma não seria finita.

Passo 3 — Aplicar a fórmula da soma infinita

Com a convergência garantida, usamos a fórmula S∞ = a1 / (1 - q) para calcular o total acumulado. Essa fórmula é a que relaciona o primeiro termo e a razão com a soma de todos os termos.

Por que esta fórmula: A soma dos infinitos termos de uma PG convergente é dada por S∞ = a1 / (1 - q). É a fórmula padrão para séries geométricas com |q| < 1.

S∞=a11−qS_{\infty} = \frac{a_1}{1 - q}

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: 90 kg · qq = enunciado: -1/3

S∞=901−(−1/3)S_{\infty} = \frac{90}{1 - (-1/3)}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal no denominador: usar 1 - 1/3 = 2/3 em vez de 1 - (-1/3) = 4/3, o que levaria a 135 kg.

Passo 4 — Calcular o denominador

Precisamos simplificar a expressão 1 - (-1/3). Subtrair um número negativo é o mesmo que somar o seu valor absoluto, então 1 - (-1/3) = 1 + 1/3 = 4/3.

1−q=1−(−13)=1+13=431 - q = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

De onde vem cada valor: qq = enunciado: -1/3

1−(−1/3)=1+1/3=4/3=4 /31 - (-1/3) = 1 + 1/3 = 4/3 = \boxed{4\ /3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que menos com menos dá mais: 1 - (-1/3) não é 1 - 1/3.

Passo 5 — Dividir 90 por 4/3

Com o denominador calculado, agora fazemos a divisão: 90 ÷ (4/3). Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo seu inverso, então 90 × (3/4).

Por que esta fórmula: Para dividir por uma fração, multiplicamos pelo inverso: a ÷ (b/c) = a × (c/b).

S∞=90×34S_{\infty} = 90 \times \frac{3}{4}

De onde vem cada valor: 9090 = enunciado: primeiro termo · 3/43/4 = passo 4: inverso de 4/3

S∞=90×34=2704=67,5=67,5 kgS_{\infty} = 90 \times \frac{3}{4} = \frac{270}{4} = 67{,}5 = \boxed{67{,}5\ \text{kg}}
NÃO CAIA NESSA!

Fazer 90 ÷ (4/3) como 90 ÷ 4 × 3 = 67,5, mas errar na ordem das operações; ou usar 90 × (2/3) = 60, que não é o caso.

Resposta: 67,5 kg (alternativa A)

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