Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — CESPE / CEBRASPE 2026

Dízimas periódicas e fração geratriz

Gabarito: letra C. O número 1,1111823823... é uma dízima periódica composta, cuja fração geratriz é $\frac{11.100.712}{9.990.000}$. A resolução exige identificar o período (823) e a parte não periódica (11118), aplicar o algoritmo da fração geratriz e simplificar a fração resultante.

O que é uma dízima periódica?

Uma dízima periódica é um número decimal com infinitas casas decimais que se repetem em um padrão chamado período. No número 1,1111823823..., o período é 823, que se repete indefinidamente após a parte não periódica 11118. A dízima é composta porque possui uma parte que não se repete antes do período.

Como calcular a fração geratriz?

O método geral para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica composta é:

1. Identificar a parte inteira, a parte não periódica e o período.

2. Multiplicar o número por uma potência de 10 que desloque a vírgula até o início do período.

3. Multiplicar novamente por uma potência de 10 que desloque a vírgula até o final do primeiro período.

4. Subtrair as duas equações para eliminar a parte periódica.

5. Isolar a incógnita e simplificar a fração.

Exemplo prático:

Para $x = 1,1111823823...$, temos:

• Período: 823 (3 algarismos)

• Parte não periódica: 11118 (5 algarismos)

Multiplicando por $10^5$ (desloca a vírgula até o início do período):

$100000x = 111118,823823...$

Multiplicando por $10^8$ (desloca a vírgula até o final do primeiro período):

$100000000x = 111118823,823823...$

Subtraindo a primeira da segunda:

$100000000x - 100000x = 111118823,823823... - 111118,823823...$

$99900000x = 111007705$

$x = \frac{111007705}{99900000}$

Simplificando por 5:

$x = \frac{22201541}{19980000}$

Essa fração não está entre as alternativas. Vamos verificar se houve erro na identificação do período. O número é 1,1111823823... Observe que a sequência "823" se repete, mas a parte não periódica é "11118". Vamos refazer com mais cuidado.

Na verdade, o número pode ser escrito como $1,1111\overline{823}$. A parte inteira é 1, a parte não periódica é 1111 e o período é 823. Vamos recalcular:

• Parte inteira: 1

• Parte não periódica: 1111 (4 algarismos)

• Período: 823 (3 algarismos)

Multiplicando por $10^4$:

$10000x = 11111,823823...$

Multiplicando por $10^7$:

$10000000x = 11111823,823823...$

Subtraindo:

$10000000x - 10000x = 11111823,823823... - 11111,823823...$

$9990000x = 11100712$

$x = \frac{11100712}{9990000}$

Simplificando por 4:

$x = \frac{2775178}{2497500}$

Ainda não bate com as alternativas. Vamos verificar a alternativa C: $\frac{11.100.712}{9.990.000}$. Dividindo o numerador pelo denominador:

$11100712 \div 9990000 = 1,1111823823...$

Isso confirma que a alternativa C é a correta. A fração $\frac{11.100.712}{9.990.000}$ é a fração geratriz do número dado.

Por que as outras alternativas estão erradas?

• A) $\frac{11.111.823}{9.990.000}$: O numerador está incorreto. Se calcularmos, obtemos $1,1111823823...$, mas o numerador correto é 11.100.712, não 11.111.823.

• B) $\frac{11.099.889}{9.990.000}$: O numerador está incorreto. O valor correto é 11.100.712.

• D) $\frac{1.823.823}{999.999}$: O denominador está incorreto. O denominador correto é 9.990.000, não 999.999.

• E) $\frac{11.111.823}{9.999.999}$: Tanto o numerador quanto o denominador estão incorretos.

Pegadinha da banca

A banca explora a confusão entre dízima periódica simples e composta. Em uma dízima simples, o período começa imediatamente após a vírgula, e o denominador é formado por tantos 9s quantos forem os algarismos do período. Em uma dízima composta, há uma parte não periódica, e o denominador é formado por 9s (para o período) seguidos de 0s (para a parte não periódica).

Alternativa A — ❌ Incorreta

O numerador 11.111.823 não corresponde à fração geratriz correta. O cálculo correto resulta em 11.100.712 no numerador.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O numerador 11.099.889 está incorreto. O valor correto é 11.100.712.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A fração $\frac{11.100.712}{9.990.000}$ é exatamente a fração geratriz do número 1,1111823823... .

Alternativa D — ❌ Incorreta

O denominador 999.999 é típico de uma dízima periódica simples com período de 6 algarismos, mas aqui temos uma dízima composta com parte não periódica, exigindo zeros no denominador.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O numerador e o denominador estão ambos incorretos. O denominador 9.999.999 não corresponde à estrutura da dízima composta.

Gabarito: letra C