Uma professora pediu a cada estudante que levasse régua, fita métrica e uma grande cartolina branca para à sala de aula na aula seguinte, para a realização de uma atividade. No dia marcado, ela deu as seguintes orientações, a que os estudantes deveriam atender 1) Desenhe um segmento de reta com mais de 1 metro de comprimento. 2) Marque, no segmento de reta, a lápis, um ponto indicado com o número 0 e outro ponto, indicado com o número 1, à exatamente 1 metro de distância do primeiro. 3) Utilizando sempre à escala métrica, marque, no segmento de reta, entre os números 0 e 1, todos os números decimais exatos com exatamente uma casa decimal. 4) Depois, marque todos os números decimais exatos com exatamente duas casas decimais. Em seguida, em um experimento mental, a professora pediu aos estudantes que fechassem seus olhos e se imaginassem marcando, sucessivamente, todos os números decimais exatos com exatamente 3 casas decimais, depois exatamente 4, e assim por diante, indefinidamente. Considerando um estudante que tenha executado com perfeição todos os comandos dados e desconsiderando eventuais dificuldades práticas quanto à espessura da ponta do lápis, assinale a opção correta acerca da atividade desenvolvida pela professora.
AO número 0,123456789999... não será marcado, mesmo após concluída a fase imaginativa da atividade.
BSe um ponto A do segmento de reta for escolhido ao acaso entre os números zero e um, necessariamente haverá, a uma distância inferior a 1/1010 metros do ponto A, um dos pontos que teriam sido marcados na fase imaginativa da atividade proposta pela professora.
CAlguns número irracionais serão marcados em alguma das iterações da fase imaginativa da atividade.
DCada número racional terá sido marcado após alguma das iterações da fase imaginativa da atividade.
EApós concluída a fase imaginativa da atividade, a reta ficaria completamente preenchida pelos números marcados, não sobrando nenhum ponto da reta não associado a algum dos números marcados.
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GabaritoB — Se um ponto A do segmento de reta for escolhido ao acaso entre os números zero e um, necessariamente haverá, a uma distância inferior a 1/1010 metros do ponto A, um dos pontos que teriam sido marcados na fase imaginativa da atividade proposta pela professora.
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Números decimais exatos e a densidade dos racionais
Gabarito: letra B. A atividade marca, em cada iteração, todos os números decimais exatos com um número fixo de casas decimais. Como esses números formam um conjunto denso no intervalo [0,1], qualquer ponto escolhido ao acaso estará a uma distância arbitrariamente pequena de algum deles — e a alternativa B quantifica exatamente essa propriedade, afirmando que essa distância é inferior a metros.
O coração da questão está em entender o que é um número decimal exato e como eles se distribuem na reta. Um número decimal exato é aquele cuja representação decimal termina, ou seja, tem um número finito de casas decimais — como 0,3; 0,47; 0,123. Na atividade, a professora pede que os estudantes marquem, sucessivamente, todos os decimais exatos com 1 casa, depois com 2, depois com 3, e assim por diante, indefinidamente. Isso significa que, ao final do processo imaginativo, terão sido marcados todos os números decimais exatos do intervalo [0,1], pois todo decimal exato tem um número finito de casas e, portanto, será marcado em alguma iteração específica.
A propriedade central que resolve a questão é a densidade dos números racionais (e, em particular, dos decimais exatos) nos reais. Dizemos que um conjunto é denso em um intervalo quando, entre quaisquer dois pontos dele, existe um elemento do conjunto. Mais ainda: dado qualquer ponto do intervalo, existem elementos do conjunto arbitrariamente próximos dele. Isso significa que, por menor que seja a distância que você escolha, sempre haverá um decimal exato a uma distância menor que essa do ponto escolhido. É exatamente isso que a alternativa B afirma, com a distância específica de metros.
Para visualizar, pense no número irracional . Ele nunca será marcado, pois não é um decimal exato. Mas, para qualquer precisão que você queira, existe um decimal exato perto dele: 0,7; 0,70; 0,707; 0,7071; e assim por diante. A distância entre o ponto e esses decimais vai diminuindo a cada iteração, tendendo a zero. A alternativa B apenas formaliza essa ideia: escolhido um ponto A qualquer, existe um decimal exato a menos de metros dele.
A pegadinha da questão está em confundir "densidade" com "preenchimento completo". O conjunto dos decimais exatos é denso, mas não é todo o intervalo [0,1] — ele deixa de fora todos os números com representação decimal infinita não periódica (os irracionais) e também os racionais com representação decimal infinita periódica (as dízimas periódicas, como 1/3 = 0,333...). A alternativa E explora exatamente esse erro: ela afirma que a reta ficaria completamente preenchida, o que é falso. A densidade garante que os pontos marcados estão "em toda parte", mas não que cobrem tudo — há uma infinidade de pontos não marcados entre eles.
Guarde essa distinção: denso ≠ completo. Um conjunto denso se aproxima de todos os pontos, mas não os contém. É essa fronteira que separa a alternativa correta (B) das incorretas (C, D e E).
Caso
Número analisado
Classificação
Será marcado?
Resultado
A
0,123456789999...
Racional (dízima periódica)
Não
Afirmação verdadeira, mas não é o gabarito
B
Qualquer ponto A em [0,1]
—
Sempre existe decimal exato a distância < 1/10¹⁰
Correta (densidade dos decimais exatos)
C
Número irracional (ex.: √2/2)
Irracional
Não
Incorreta
D
Racional com dízima (ex.: 1/3 = 0,333...)
Racional não decimal exato
Não
Incorreta
E
Todos os pontos da reta
—
Não (sobram irracionais e dízimas)
Incorreta (denso ≠ completo)
Alternativa A — ❌ Incorreta
O número 0,123456789999... é uma dízima periódica (o período é 9, repetindo-se indefinidamente). Toda dízima periódica é um número racional, e todo racional pode ser escrito como uma fração. No entanto, ele não é um decimal exato, pois sua representação decimal é infinita. A alternativa afirma que ele não será marcado, o que é verdade — mas a questão pede a opção correta, e esta afirmação, embora verdadeira, não é a resposta. A pegadinha aqui é que o aluno pode marcar a primeira alternativa que parecer correta, sem verificar as demais. A alternativa A é verdadeira, mas a B é mais completa e é a que responde diretamente à pergunta sobre a distribuição dos pontos.
Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Esta é a alternativa correta. Ela afirma que, escolhido um ponto A qualquer entre 0 e 1, existe um ponto marcado a uma distância inferior a metros. Isso é uma consequência direta da densidade dos números decimais exatos no intervalo [0,1]. Como os decimais exatos são densos, para qualquer ponto e qualquer distância positiva (por menor que seja), existe um decimal exato a uma distância menor que essa. A alternativa usa a distância específica de metros, mas o argumento vale para qualquer distância positiva. A frase "necessariamente haverá" é a chave: ela expressa a garantia da densidade.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Números irracionais são aqueles cuja representação decimal é infinita e não periódica, como , e . A atividade marca apenas números decimais exatos, que são um subconjunto dos racionais. Nenhum número irracional será marcado em nenhuma iteração, pois todo decimal exato é racional. A alternativa tenta confundir o aluno ao sugerir que, em algum momento, números irracionais seriam incluídos — o que não ocorre, pois o processo é sempre com um número finito de casas decimais.
Alternativa D — ❌ Incorreta
A alternativa afirma que todo número racional será marcado. Isso é falso. Os números racionais incluem as dízimas periódicas, como 1/3 = 0,333... e 1/7 = 0,142857142857..., que têm representação decimal infinita. Esses números não são decimais exatos e, portanto, nunca serão marcados na atividade. Apenas os racionais com representação decimal finita (os decimais exatos) são marcados. A alternativa confunde o conjunto dos racionais com o subconjunto dos decimais exatos.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Esta é a pegadinha clássica da questão. A alternativa afirma que, após a fase imaginativa, a reta ficaria completamente preenchida, sem sobrar nenhum ponto. Isso é falso. Os números marcados são apenas os decimais exatos, que formam um conjunto denso, mas não contínuo. Entre dois pontos marcados quaisquer, existem infinitos pontos não marcados — como os irracionais e as dízimas periódicas. A densidade garante que os pontos marcados estão arbitrariamente próximos de qualquer ponto, mas não que cobrem todo o intervalo. A reta real é contínua, mas o conjunto dos decimais exatos é enumerável e, portanto, tem "buracos" em toda parte.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre densidade e completude. Um conjunto denso (como os decimais exatos) se aproxima de todos os pontos, mas não os contém. A alternativa E parece intuitiva — "se marcamos cada vez mais pontos, a reta se preenche" — mas isso é falso: há uma infinidade de números (irracionais e dízimas periódicas) que nunca serão marcados. A alternativa B, por outro lado, usa corretamente a densidade: para qualquer ponto, existe um marcado arbitrariamente próximo.
PEGA ESSA DICA!
Para resolver questões sobre densidade, lembre-se: a propriedade de "estar arbitrariamente próximo" é diferente de "estar presente". Se a alternativa diz que um conjunto é denso, ela está falando de aproximação; se diz que preenche tudo, está falando de completude. Na dúvida, teste com um número irracional: ele nunca é marcado, mas sempre há um decimal exato perto dele.