Questão de Matemática — Sistemas Lineares — CESPE / CEBRASPE 2026

Sistemas Lineares: condição para solução única

Gabarito: letra D. Para que o sistema linear tenha solução única, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero. Calculando o determinante da matriz $\begin{bmatrix} m & 2m^2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$, obtemos $3m - (-1)\cdot 2m^2 = 3m + 2m^2 = m(2m+3)$. Para que o sistema seja possível e determinado (SPD), precisamos que $m(2m+3) \neq 0$, ou seja, $m \neq 0$ e $m \neq -\frac{3}{2}$. Portanto, o conjunto de valores de $m$ é $\mathbb{R} \setminus \{0, -\frac{3}{2}\}$.

Um sistema linear de duas equações e duas incógnitas pode ser classificado de três formas: possível e determinado (SPD), quando possui uma única solução; possível e indeterminado (SPI), quando possui infinitas soluções; e impossível (SI), quando não possui solução. A classificação está diretamente ligada ao determinante da matriz dos coeficientes e à comparação entre as equações.

A regra prática para sistemas $2 \times 2$ é: se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, o sistema é SPD. Se for igual a zero, o sistema pode ser SPI ou SI, dependendo se as equações são proporcionais ou não. Nesta questão, o foco é apenas a condição para solução única, que é o determinante não nulo.

Vamos aplicar isso ao sistema dado:

$\begin{cases} mx + 2m^2y = 2 \\ -x + 3y = 1 \end{cases}$

A matriz dos coeficientes é $A = \begin{bmatrix} m & 2m^2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$. O determinante é:

$\det(A) = m \cdot 3 - (-1) \cdot 2m^2 = 3m + 2m^2 = m(2m + 3)$.

Para que o sistema tenha solução única, precisamos que $\det(A) \neq 0$. Isso ocorre quando $m \neq 0$ e $m \neq -\frac{3}{2}$. Quando $m = 0$, o determinante é zero, e o sistema pode ser SPI ou SI. Quando $m = -\frac{3}{2}$, o determinante também é zero. Portanto, esses dois valores devem ser excluídos do conjunto dos números reais.

A pegadinha desta questão está em esquecer de excluir o valor $m = 0$ ou o valor $m = -\frac{3}{2}$. O candidato pode calcular o determinante e encontrar $m(2m+3)$, mas pode se esquecer de que o produto é zero quando qualquer um dos fatores é zero. A alternativa E exclui apenas o zero, e a alternativa B exclui um intervalo que não corresponde à condição. A alternativa correta é a que exclui ambos os valores.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que todos os valores reais de $m$ são válidos. Isso é falso, pois quando $m = 0$ ou $m = -\frac{3}{2}$, o determinante é zero e o sistema não tem solução única. A alternativa ignora a condição $\det(A) \neq 0$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta o conjunto $\mathbb{R} \setminus \left(-\tfrac{3}{2}, 0\right)$, que exclui apenas os valores entre $-\frac{3}{2}$ e $0$, mas inclui os extremos $-\frac{3}{2}$ e $0$. Isso está errado, pois esses extremos devem ser excluídos, não incluídos. O intervalo aberto exclui os valores internos, mas não os extremos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta o intervalo $\left(-\tfrac{3}{2}, 0\right)$, que é exatamente o conjunto dos valores que devem ser excluídos, mas a alternativa o apresenta como o conjunto dos valores que tornam o sistema com solução única. Isso é o oposto do que se pede. O sistema tem solução única para valores fora desse intervalo, não dentro dele.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta o conjunto $\mathbb{R} \setminus \{0, -\tfrac{3}{2}\}$, que exclui exatamente os dois valores que zeram o determinante. Para qualquer outro valor real de $m$, o determinante é diferente de zero e o sistema tem solução única. Esta é a resposta correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta o conjunto $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, que exclui apenas o valor $m = 0$, mas não exclui $m = -\frac{3}{2}$. Quando $m = -\frac{3}{2}$, o determinante também é zero, então o sistema não tem solução única. A alternativa esquece de excluir o segundo valor.

Gabarito: letra D