Questão de Matemática — Lei dos Senos e Lei dos Cossenos — CESPE / CEBRASPE 2026

Lei dos Senos e Lei dos Cossenos

Gabarito: letra A — o comprimento do segmento BC é $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Pela Lei dos Senos, a razão entre um lado e o seno do ângulo oposto é constante; como o ângulo B mede 30° (pois a soma dos ângulos internos é 180°), temos $\frac{BC}{\sin 30°} = \frac{AB}{\sin 120°}$, o que resulta em $BC = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

A Lei dos Senos é uma relação fundamental da trigonometria que se aplica a qualquer triângulo, não apenas aos retângulos. Ela estabelece que, em um triângulo ABC qualquer, a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado é sempre constante. Essa constante é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo. Em termos práticos, se você conhece dois ângulos e um lado, ou dois lados e um ângulo oposto a um deles, a Lei dos Senos permite encontrar as medidas desconhecidas.

No problema, temos o triângulo ABC com AB = 1, ângulo A = 30° e ângulo C = 120°. O primeiro passo é determinar o ângulo B, usando o fato de que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°. Assim, B = 180° − 30° − 120° = 30°. Isso revela que o triângulo é isósceles, com os ângulos A e B iguais, o que implica que os lados opostos a esses ângulos também são iguais: BC = AC. No entanto, para encontrar o valor numérico, aplicamos a Lei dos Senos.

Aplicando a Lei dos Senos, relacionamos o lado AB (que mede 1) com o ângulo C (120°) e o lado BC (que queremos descobrir) com o ângulo A (30°). A razão fica: $\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$. Substituindo os valores: $\frac{1}{\sin 120°} = \frac{BC}{\sin 30°}$. Precisamos lembrar que $\sin 120° = \sin (180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e que $\sin 30° = \frac{1}{2}$. Isolando BC, temos $BC = \frac{1 \cdot \sin 30°}{\sin 120°} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

A pegadinha clássica dessa questão é o cálculo do seno de 120°. Muitos alunos, por distração, usam $\sin 120° = \frac{1}{2}$ (que é o seno de 30° ou 150°) ou $\sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ com sinal negativo (que seria o cosseno de 150°). É fundamental lembrar que o seno é positivo no segundo quadrante e que $\sin 120° = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Outro erro comum é inverter a relação, colocando o lado errado sobre o seno do ângulo errado. A regra é sempre: lado oposto ao ângulo X sobre seno do ângulo X.

A distinção entre a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos também é um ponto que a banca explora. A Lei dos Cossenos é usada quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles, ou quando conhecemos os três lados e queremos um ângulo. A Lei dos Senos é mais direta quando temos pares de lado-ângulo oposto. Nesta questão, como temos dois ângulos e um lado, a Lei dos Senos é a ferramenta natural. Guarde essa diferença: se o problema fornece dois ângulos e um lado, use a Lei dos Senos; se fornece dois lados e o ângulo entre eles, use a Lei dos Cossenos.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta o valor correto. Conforme demonstrado, aplicando a Lei dos Senos com os dados do enunciado, obtemos $BC = \frac{\sqrt{3}}{3}$. O cálculo é direto: $\frac{BC}{\sin 30°} = \frac{1}{\sin 120°}$, o que leva a $BC = \frac{\sin 30°}{\sin 120°} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 1 seria o comprimento do lado AB, que é dado no enunciado. A alternativa confunde o lado conhecido com o lado que se deseja calcular. Se o triângulo fosse equilátero, todos os lados seriam iguais, mas aqui os ângulos são 30°, 30° e 120°, então os lados opostos aos ângulos de 30° são iguais entre si, mas diferentes do lado oposto ao ângulo de 120°. O lado BC é oposto ao ângulo de 30°, e o lado AB também é oposto a um ângulo de 30°, então eles são iguais? Não, cuidado: AB é oposto ao ângulo C (120°), não ao ângulo A. O lado BC é oposto ao ângulo A (30°). Portanto, BC não é igual a AB.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\frac{\sqrt{2}}{2}$ é o seno de 45° ou o cosseno de 45°. Não há nenhum ângulo de 45° no triângulo, então esse valor não pode ser o comprimento de um lado. A alternativa provavelmente tenta confundir o aluno com um valor trigonométrico notável que não se aplica ao problema. O correto é usar os ângulos de 30° e 120°.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\sqrt{2}$ é um número irracional que não aparece nos cálculos. Ele poderia ser o comprimento da diagonal de um quadrado de lado 1, mas não tem relação com este triângulo. A alternativa é um distrator numérico sem fundamento nos dados do problema.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ é o dobro do valor correto. Esse erro ocorre se o aluno inverter a razão na Lei dos Senos, colocando $BC = \frac{\sin 120°}{\sin 30°} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$, ou se cometer um erro de álgebra ao simplificar. O valor $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ é o resultado de $\frac{2}{\sqrt{3}}$, que seria obtido se a razão fosse invertida incorretamente.

A chave para resolver questões com a Lei dos Senos é identificar corretamente os pares lado-ângulo oposto. Neste caso, o lado AB é oposto ao ângulo C, e o lado BC é oposto ao ângulo A. Aplicando a fórmula com esses pares, o resultado sai de forma limpa. Lembre-se de que a soma dos ângulos internos é sempre 180°, o que permite encontrar o terceiro ângulo quando dois são conhecidos.

Gabarito: letra A