Questão de Matemática — Função Logarítmica e Inequações Logarítmicas — CESPE / CEBRASPE 2026

Domínio de função logarítmica

Gabarito: letra E — o domínio real da função $f(x) = \log_2(x) \times \log_2(x-3)$ é $(3, \infty)$. Para que a função exista, ambos os logaritmandos devem ser positivos: $x > 0$ e $x - 3 > 0$. A interseção dessas condições é $x > 3$, ou seja, o intervalo $(3, \infty)$.

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de $x$ para os quais a função está definida. No caso de uma função logarítmica, a condição de existência é que o logaritmando (o argumento do logaritmo) seja estritamente positivo. Isso porque o logaritmo de um número não positivo não está definido no conjunto dos números reais. A base do logaritmo também deve ser positiva e diferente de 1, mas aqui a base é 2, que já satisfaz essa condição.

Na função dada, temos dois logaritmos: $\log_2(x)$ e $\log_2(x-3)$. Para que o produto seja definido, ambos os logaritmos precisam existir. Portanto, precisamos impor as condições de existência para cada um deles:

1. Para $\log_2(x)$: o logaritmando é $x$, então precisamos de $x > 0$.

2. Para $\log_2(x-3)$: o logaritmando é $x-3$, então precisamos de $x - 3 > 0$, ou seja, $x > 3$.

Agora, precisamos encontrar a interseção dessas duas condições. A condição $x > 3$ já implica $x > 0$, pois se $x$ é maior que 3, automaticamente é maior que 0. Portanto, a condição mais restritiva é $x > 3$. O domínio da função é o conjunto de todos os números reais maiores que 3, que em notação de intervalo é $(3, \infty)$.

Vamos verificar com um exemplo: se $x = 4$, temos $\log_2(4) = 2$ e $\log_2(1) = 0$, então $f(4) = 2 \times 0 = 0$, que é um valor real. Se $x = 2$, temos $\log_2(2) = 1$, mas $\log_2(-1)$ não é definido, então $f(2)$ não existe. Se $x = 0,5$, temos $\log_2(0,5) = -1$, mas $\log_2(-2,5)$ não é definido. Isso confirma que o domínio é apenas os valores maiores que 3.

A pegadinha desta questão está em considerar apenas a condição $x > 0$ (do primeiro logaritmo) e esquecer a condição $x > 3$ (do segundo logaritmo). O candidato que faz isso marca a alternativa C $(0, \infty)$, que é o domínio de $\log_2(x)$ isoladamente, mas não da função composta. A alternativa D $(-\infty, 0) \cup (3, \infty)$ também é um distrator comum, pois representa a solução de uma inequação do tipo $x(x-3) > 0$, que não é o caso aqui — aqui temos uma interseção de condições, não um produto de logaritmandos.

Guarde o critério decisivo: para o domínio de uma função com múltiplos logaritmos, cada logaritmando deve ser positivo, e o domínio final é a interseção de todas as condições. É exatamente nessa interseção que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o domínio é $\mathbb{R}$, ou seja, todos os números reais. Isso está errado porque a função logarítmica não está definida para logaritmandos não positivos. Por exemplo, $f(0)$ não existe, pois $\log_2(0)$ é indefinido, e $f(2)$ não existe, pois $\log_2(-1)$ é indefinido. O domínio não pode incluir valores que tornam a função inexistente.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o domínio é o intervalo aberto $(0, 3)$. Isso está errado porque, para qualquer valor de $x$ nesse intervalo, como $x = 1$, temos $\log_2(1) = 0$, mas $\log_2(-2)$ é indefinido. A condição $x - 3 > 0$ não é satisfeita para nenhum valor menor que 3, então nenhum ponto desse intervalo pertence ao domínio.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o domínio é $(0, \infty)$. Essa é a pegadinha clássica: é o domínio de $\log_2(x)$ isoladamente, mas não da função completa. Para $x$ entre 0 e 3, como $x = 1$, o segundo logaritmo $\log_2(x-3)$ tem logaritmando negativo, logo não existe. A condição $x > 3$ é mais restritiva e deve ser respeitada.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o domínio é $(-\infty, 0) \cup (3, \infty)$. Essa alternativa confunde a condição de existência com a resolução de uma inequação produto $x(x-3) > 0$. Para valores de $x < 0$, como $x = -1$, temos $\log_2(-1)$ indefinido, então esses valores não podem estar no domínio. Apenas a parte $(3, \infty)$ está correta, mas a parte $(-\infty, 0)$ invalida a alternativa.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que o domínio é $(3, \infty)$. Isso está correto porque, para que ambos os logaritmos existam, precisamos de $x > 0$ e $x - 3 > 0$. A interseção dessas condições é $x > 3$, que em notação de intervalo é $(3, \infty)$. Para qualquer valor de $x$ nesse intervalo, ambos os logaritmandos são positivos, e a função está definida.

Gabarito: letra E