Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — CESPE / CEBRASPE 2026

Função quadrática e trajetória parabólica

Gabarito: letra A. A equação da trajetória é $y = -\frac{9}{16}x^{2} + \frac{9}{2}x + 1$, pois a parábola tem concavidade para baixo (coeficiente $a < 0$), passa pelo ponto $(0, 1)$ (altura inicial da mangueira) e tem vértice em $(4, 10)$ (altura máxima a 4 metros de distância). Essas três condições determinam unicamente os coeficientes $a$, $b$ e $c$ da função quadrática $y = ax^2 + bx + c$.

A trajetória de um projétil lançado obliquamente, desprezando a resistência do ar, é uma parábola. Matematicamente, isso é modelado por uma função do segundo grau $y = ax^2 + bx + c$, onde $y$ é a altura e $x$ é a distância horizontal. O coeficiente $a$ determina a concavidade: como o jato sobe e depois desce, a parábola tem concavidade para baixo, logo $a < 0$. O ponto onde a mangueira é segurada, a 1 metro de altura, corresponde ao ponto em que $x = 0$, ou seja, $y(0) = c = 1$. Já o vértice da parábola, ponto de altura máxima, ocorre em $x_v = 4$ e $y_v = 10$. Para uma função quadrática, o vértice é dado por $x_v = -\frac{b}{2a}$ e $y_v = -\frac{\Delta}{4a}$, onde $\Delta = b^2 - 4ac$. Com essas informações, montamos um sistema para encontrar $a$ e $b$.

Vamos resolver o sistema. Temos $c = 1$. A abscissa do vértice é $x_v = -\frac{b}{2a} = 4$, o que nos dá $b = -8a$. A ordenada do vértice é $y_v = 10$. Usando a forma canônica da função quadrática, $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, podemos substituir diretamente os valores do vértice e o ponto inicial. Como a parábola passa por $(0, 1)$ e tem vértice em $(4, 10)$, temos $1 = a(0 - 4)^2 + 10$, ou seja, $1 = 16a + 10$, o que resulta em $16a = -9$ e, portanto, $a = -\frac{9}{16}$. Com $b = -8a$, obtemos $b = -8 \cdot \left(-\frac{9}{16}\right) = \frac{9}{2}$. Assim, a equação é $y = -\frac{9}{16}x^{2} + \frac{9}{2}x + 1$, que corresponde exatamente à alternativa A.

A pegadinha desta questão está em confundir o ponto de altura máxima com um ponto qualquer da trajetória ou em esquecer que a altura inicial é o termo independente $c$. Muitos candidatos, ao verem o vértice $(4, 10)$, tentam montar a equação na forma $y = a(x - 4)^2 + 10$ e esquecem de usar o ponto $(0, 1)$ para encontrar o coeficiente $a$, ou então erram o sinal de $a$, achando que a concavidade poderia ser para cima. A chave é lembrar que a parábola tem concavidade para baixo ($a < 0$) e que o ponto inicial fornece o valor de $c$.

Guarde o método: para encontrar a equação de uma parábola a partir do vértice e de um ponto, use a forma canônica $y = a(x - x_v)^2 + y_v$ e substitua o ponto conhecido para achar $a$. É exatamente esse raciocínio que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a equação que satisfaz todas as condições do enunciado. O coeficiente $a = -\frac{9}{16}$ é negativo, indicando concavidade para baixo, como esperado para um jato que sobe e desce. O termo independente $c = 1$ representa a altura inicial da mangueira. O vértice da parábola é calculado por $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{9/2}{2 \cdot (-9/16)} = -\frac{9/2}{-9/8} = 4$ e $y_v = -\frac{\Delta}{4a}$. Calculando $\Delta = \left(\frac{9}{2}\right)^2 - 4 \cdot \left(-\frac{9}{16}\right) \cdot 1 = \frac{81}{4} + \frac{9}{4} = \frac{90}{4} = \frac{45}{2}$. Então $y_v = -\frac{45/2}{4 \cdot (-9/16)} = -\frac{45/2}{-9/4} = \frac{45}{2} \cdot \frac{4}{9} = 10$. Portanto, o vértice é $(4, 10)$, exatamente o ponto de altura máxima informado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta alternativa tem coeficiente $a = -\frac{3}{100}$, que é negativo, mas muito pequeno em magnitude. Isso resultaria em uma parábola extremamente "aberta", com altura máxima muito menor do que 10 metros. Vamos verificar: o vértice seria em $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3/5}{2 \cdot (-3/100)} = -\frac{3/5}{-3/50} = 10$. A altura máxima seria $y_v = -\frac{\Delta}{4a}$. Calculando $\Delta = \left(\frac{3}{5}\right)^2 - 4 \cdot \left(-\frac{3}{100}\right) \cdot 1 = \frac{9}{25} + \frac{3}{25} = \frac{12}{25}$. Então $y_v = -\frac{12/25}{4 \cdot (-3/100)} = -\frac{12/25}{-3/25} = 4$. Ou seja, a altura máxima seria de apenas 4 metros, não 10. O erro está em usar coeficientes que não correspondem ao vértice dado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta uma parábola com concavidade para cima ($a = \frac{9}{16} > 0$), o que significaria que o jato de água subiria indefinidamente, sem atingir um ponto de altura máxima. Isso contradiz a situação física descrita, em que o jato atinge uma altura máxima de 10 metros e depois desce. Além disso, o termo $+1$ indica que a parábola passaria pelo ponto $(0, 1)$, mas sem o termo linear $bx$, o vértice estaria em $x_v = 0$, ou seja, a altura máxima ocorreria na origem, o que não condiz com o enunciado (a altura máxima é a 4 metros de distância).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa tem coeficiente $a = -\frac{1}{2}$, que é negativo, e termo independente $c = 2$. Isso significa que a altura inicial do jato seria de 2 metros, mas o enunciado afirma que a mangueira foi segurada a 1 metro de altura. Além disso, o vértice seria em $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1/2)} = 4$, e a altura máxima seria $y_v = -\frac{\Delta}{4a}$. Calculando $\Delta = 4^2 - 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 2 = 16 + 4 = 20$. Então $y_v = -\frac{20}{4 \cdot (-1/2)} = -\frac{20}{-2} = 10$. O vértice está correto, mas o ponto inicial está errado: em $x = 0$, $y = 2$, não 1. Portanto, a alternativa falha na condição da altura inicial.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Assim como a alternativa C, esta apresenta concavidade para cima ($a = \frac{3}{100} > 0$), o que é fisicamente impossível para um jato que atinge altura máxima. Além disso, o termo independente é $c = 1$, correto, mas sem o termo linear, o vértice estaria em $x_v = 0$, e a altura máxima seria em $y = 1$, o que não corresponde ao enunciado. A parábola deveria ter concavidade para baixo e vértice em $(4, 10)$.

A regra de ouro para questões de trajetória parabólica é: identifique o ponto inicial (fornece $c$), o vértice (fornece $x_v$ e $y_v$) e use a forma canônica para encontrar $a$. Com $a$ e o vértice, expanda para a forma geral e confira se todos os pontos batem. Essa sequência elimina qualquer distrator.

Gabarito: letra A