Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Função Inversa — CESPE / CEBRASPE 2026

MatemáticaFunção Inversa
Código
ce387601
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
SEED SE
Ano
2026
Cargo
PEB ( )
Considerando que f(x)= 2^x - 2^{-x}, assinale a opção que corresponde ao valor de f^{-1}(-2).
  1. A0
  2. Blog⁡2 ⁣(2−1)\log_{2}\!\left(\sqrt{2} - 1\right)
  3. Clog⁡2 ⁣(1−2)\log_{2}\!\left(1 - \sqrt{2}\right)
  4. Dlog⁡2 ⁣(2+1)\log_{2}\!\left(\sqrt{2} + 1\right)
  5. Elog⁡2 ⁣(−2−1)\log_{2}\!\left(-\sqrt{2} - 1\right)
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — \log_{2}\!\left(\sqrt{2} - 1\right)

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Função inversa e logaritmos

Gabarito: letra B. Para encontrar f−1(−2)f^{-1}(-2), resolvemos f(x)=−2f(x) = -2, ou seja, 2x−2−x=−22^x - 2^{-x} = -2. Fazendo a substituição t=2xt = 2^x, chegamos a uma equação do segundo grau em tt, cuja solução positiva é t=2−1t = \sqrt{2} - 1. Como t=2xt = 2^x, aplicamos o logaritmo na base 2: x=log⁡2(2−1)x = \log_2(\sqrt{2} - 1).

O problema pede o valor da função inversa de ff aplicada em −2-2. A função inversa f−1f^{-1} "desfaz" o que ff faz: se f(a)=bf(a) = b, então f−1(b)=af^{-1}(b) = a. Portanto, calcular f−1(−2)f^{-1}(-2) é o mesmo que encontrar o valor de xx tal que f(x)=−2f(x) = -2. Essa é a chave para resolver a questão: não precisamos achar a expressão algébrica completa da inversa, basta resolver a equação original.

Vamos à resolução passo a passo. Temos a equação:

2x−2−x=−22^x - 2^{-x} = -2

Para simplificar, fazemos a substituição t=2xt = 2^x. Como 2−x=12x=1t2^{-x} = \frac{1}{2^x} = \frac{1}{t}, a equação se torna:

t−1t=−2t - \frac{1}{t} = -2

Multiplicando todos os termos por tt (lembrando que t>0t > 0, pois é uma potência de base positiva), obtemos:

t2−1=−2tt^2 - 1 = -2t
t2+2t−1=0t^2 + 2t - 1 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação do segundo grau em tt:

t=−2±22−4⋅1⋅(−1)2⋅1=−2±4+42=−2±82t = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2}

Como 8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2}, temos:

t=−2±222=−1±2t = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}

As duas soluções possíveis são t=−1+2t = -1 + \sqrt{2} e t=−1−2t = -1 - \sqrt{2}. No entanto, t=2xt = 2^x é sempre positivo, pois a função exponencial de base 2 tem imagem no conjunto dos números reais positivos. A segunda solução, −1−2-1 - \sqrt{2}, é negativa, portanto não é válida. Ficamos com:

t=2−1t = \sqrt{2} - 1

Retornando à substituição original, t=2xt = 2^x, temos:

2x=2−12^x = \sqrt{2} - 1

Aplicando o logaritmo na base 2 em ambos os lados, obtemos:

x=log⁡2(2−1)x = \log_2(\sqrt{2} - 1)

Esse é exatamente o valor de f−1(−2)f^{-1}(-2), que corresponde à alternativa B.

A pegadinha desta questão está em dois pontos. Primeiro, muitos alunos tentam encontrar a expressão completa da função inversa, o que é desnecessário e mais trabalhoso. Segundo, ao resolver a equação do segundo grau, é preciso lembrar que 2x2^x é sempre positivo, descartando a raiz negativa. A alternativa C, por exemplo, apresenta log⁡2(1−2)\log_2(1 - \sqrt{2}), que é exatamente o logaritmo da raiz negativa — uma armadilha clássica para quem esquece da condição de existência.

Caso

Substituição (t = 2^x)

Equação em (t)

Soluções de (t)

Condição (t > 0)

Resultado (x = \log_2 t)

1

(t = 2^x)

(t−1t=−2)→(t2+2t−1=0)(t - \frac{1}{t} = -2) → (t^2 + 2t - 1 = 0)

(t=2−1)(t = \sqrt{2} - 1)

Válida ((t > 0))

(x=log⁡2(2−1))(x = \log_2(\sqrt{2} - 1))

2

(t = 2^x)

(t−1t=−2)→(t2+2t−1=0)(t - \frac{1}{t} = -2) → (t^2 + 2t - 1 = 0)

(t=−2−1)(t = -\sqrt{2} - 1)

Inválida ((t < 0))

Descartada

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0 não satisfaz a equação. Se x=0x = 0, então f(0)=20−2−0=1−1=0f(0) = 2^0 - 2^{-0} = 1 - 1 = 0, e não −2-2. Portanto, f−1(−2)≠0f^{-1}(-2) \neq 0.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado na resolução, f−1(−2)=log⁡2(2−1)f^{-1}(-2) = \log_2(\sqrt{2} - 1). A substituição t=2xt = 2^x transforma a equação em uma equação do segundo grau, cuja solução positiva é t=2−1t = \sqrt{2} - 1, e o logaritmo na base 2 fornece o valor de xx.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta log⁡2(1−2)\log_2(1 - \sqrt{2}), que é o logaritmo da raiz negativa da equação do segundo grau (t=−1−2=−(1+2)t = -1 - \sqrt{2} = -(1 + \sqrt{2}), que é negativo). Como 2x2^x é sempre positivo, essa raiz deve ser descartada. Além disso, o logaritmando 1−21 - \sqrt{2} é negativo, o que torna o logaritmo indefinido no conjunto dos números reais.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta log⁡2(2+1)\log_2(\sqrt{2} + 1). Esse valor corresponderia a t=2+1t = \sqrt{2} + 1, que não é solução da equação t2+2t−1=0t^2 + 2t - 1 = 0. A banca provavelmente incluiu essa opção para confundir quem erra o sinal na resolução da equação do segundo grau.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta log⁡2(−2−1)\log_2(-\sqrt{2} - 1). O logaritmando −2−1-\sqrt{2} - 1 é negativo, portanto o logaritmo não está definido no conjunto dos números reais. Além disso, esse valor não corresponde a nenhuma solução da equação.

Gabarito: letra B

Link permanente: /questoes/ce387601