Questão de Matemática — Números Complexos — CESPE / CEBRASPE 2026

Números Complexos: forma algébrica e o plano de Argand-Gauss

Gabarito: letra D. O ponto A está no segundo quadrante, a 30 cm da origem, com a reta formando 30° com o eixo imaginário. Isso significa que a parte real é negativa e vale $-30 \cdot \sin(30°) = -15$, enquanto a parte imaginária é positiva e vale $30 \cdot \cos(30°) = 15\sqrt{3}$. Portanto, o número complexo é $-15 + i\,15\sqrt{3}$.

A questão combina dois conceitos: a representação de um número complexo no plano (plano de Argand-Gauss) e a trigonometria no triângulo retângulo. No plano complexo, o eixo horizontal é o eixo real (Re) e o vertical é o eixo imaginário (Im). Um número complexo $z = a + bi$ é representado pelo ponto $(a, b)$, onde $a$ é a parte real e $b$ é a parte imaginária.

O enunciado diz que a reta traçada faz um ângulo de 30° com o eixo imaginário. Esse é o ponto crucial: a maioria dos problemas usa o ângulo com o eixo real (argumento). Aqui, o ângulo é medido a partir do eixo imaginário, o que inverte os papéis do seno e do cosseno na decomposição das componentes.

Vamos visualizar: imagine o ponto A no segundo quadrante. A distância da origem até A é o módulo do número complexo, $|z| = 30$. O ângulo entre o segmento OA e o eixo imaginário (vertical) é de 30°. Para encontrar as coordenadas, projetamos o segmento nos eixos.

• A projeção no eixo imaginário (componente vertical, parte imaginária $b$) é o cateto adjacente ao ângulo de 30° com o eixo vertical. Logo, $b = 30 \cdot \cos(30°) = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$.

• A projeção no eixo real (componente horizontal, parte real $a$) é o cateto oposto ao ângulo de 30° com o eixo vertical. Logo, $a = 30 \cdot \sin(30°) = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15$.

Como o ponto está no segundo quadrante, a parte real é negativa e a parte imaginária é positiva. Portanto, $a = -15$ e $b = 15\sqrt{3}$, resultando em $z = -15 + i\,15\sqrt{3}$.

A pegadinha clássica desta questão é o ângulo ser dado com o eixo imaginário, e não com o eixo real. Se o candidato não perceber isso, vai usar o ângulo de 30° com o eixo real, obtendo $a = 30 \cdot \cos(30°) = 15\sqrt{3}$ e $b = 30 \cdot \sin(30°) = 15$, chegando à alternativa A (que tem o sinal errado) ou à alternativa B (que inverte as componentes).

Guarde o critério decisivo: o ângulo é medido a partir do eixo imaginário, então o cosseno multiplica a parte imaginária e o seno multiplica a parte real. É exatamente nessa inversão que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta $15\sqrt{3} + i\,15$. O erro é duplo: primeiro, a parte real é positiva, mas o ponto está no segundo quadrante, onde a parte real deve ser negativa. Segundo, mesmo que ignorássemos o sinal, as componentes estão trocadas: o valor $15\sqrt{3}$ deveria ser a parte imaginária (pois é a projeção sobre o eixo imaginário, que usa o cosseno de 30°), e o valor 15 deveria ser a parte real (projeção sobre o eixo real, que usa o seno de 30°). Esta alternativa corresponde ao ponto no primeiro quadrante com as componentes invertidas.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $15 + i\,15\sqrt{3}$. Aqui as componentes estão corretas em módulo (15 na parte real e $15\sqrt{3}$ na imaginária), mas o sinal da parte real está positivo. Como o ponto A está no segundo quadrante, a parte real deve ser negativa. Esta alternativa representa o ponto no primeiro quadrante, que seria o correto se o ângulo fosse medido a partir do eixo real (argumento de 60°) ou se o ponto estivesse no primeiro quadrante.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $-5 + i\,15\sqrt{3}$. A parte imaginária está correta ($15\sqrt{3}$), e o sinal da parte real é negativo, o que está de acordo com o segundo quadrante. Porém, o valor da parte real está errado: deveria ser $-15$, não $-5$. O número $-5$ não corresponde a nenhuma projeção trigonométrica do módulo 30 com ângulo de 30° com o eixo imaginário. É um distrator numérico sem fundamento geométrico.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta $-15 + i\,15\sqrt{3}$. A parte real é $-15$, pois a projeção sobre o eixo real é $30 \cdot \sin(30°) = 15$ e, como o ponto está no segundo quadrante, o sinal é negativo. A parte imaginária é $15\sqrt{3}$, pois a projeção sobre o eixo imaginário é $30 \cdot \cos(30°) = 15\sqrt{3}$, e o sinal é positivo, também coerente com o segundo quadrante. Esta é a representação correta do ponto A.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $15 - i\,15\sqrt{3}$. Aqui, a parte real é positiva e a parte imaginária é negativa, o que corresponde ao quarto quadrante. Além disso, as componentes estão com os sinais trocados em relação ao que o segundo quadrante exige. Esta alternativa seria correta se o ponto estivesse no quarto quadrante com ângulo de 30° com o eixo imaginário (medido para baixo).

Gabarito: letra D