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Questão de Matemática — Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico. — CESPE / CEBRASPE 2026

MatemáticaRazões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico.
Código
ce387604
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UFAC
Ano
2026
Cargo
Vest ( )
Em um hospital, a quantidade N de pacientes que compareceu ao atendimento de emergência em determinado mês foi dada pela expressão N(t) = −10 ×\times senπt10\frac{\pi t}{10} + 30, em que t representa o dia do mês.   Nesse caso, a maior quantidade de pessoas registrada em um dia no mês em questão foi igual a
  1. A10.
  2. B15.
  3. C20.
  4. D30.
  5. E40.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 40.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 40 pacientes — alternativa E.

A ideia por trás

A função seno é uma onda que oscila entre -1 e 1, não importa qual seja o ângulo. No círculo trigonométrico, o seno é a altura do ponto sobre o eixo vertical, e como o raio do círculo é 1, essa altura nunca passa de 1 nem fica abaixo de -1. Por isso, qualquer expressão que contenha seno tem um valor máximo e um mínimo bem definidos.

Numa função do tipo f(x) = a·sen(g(x)) + b, o seno varia entre -1 e 1, então o termo a·sen varia entre -|a| e |a|. Se a é positivo, o máximo de f é a + b; se a é negativo, o máximo é -a + b. O valor de b apenas desloca a onda para cima ou para baixo, sem mudar a amplitude.

Aqui o coeficiente que multiplica o seno é -10, negativo. Isso inverte a lógica: o máximo da função acontece quando o seno é mínimo (-1), não quando é máximo. É essa inversão que a questão testa.

O que a questão dá

  • função N(t) = -10·sen(πt/10) + 30

  • t representa o dia do mês

O que queremos: a maior quantidade de pacientes registrada em um dia

Passo 1 — Identificar o intervalo do seno

O seno de qualquer ângulo real está sempre entre -1 e 1. Essa é a propriedade que limita a função, então é o ponto de partida para achar o máximo.

−1≤sin⁡(πt10)≤1-1 \leq \sin\left(\frac{\pi t}{10}\right) \leq 1

De onde vem cada valor: −1-1 = definição da função seno: valor mínimo que o seno pode assumir · 11 = definição da função seno: valor máximo que o seno pode assumir · πt10\frac{\pi t}{10} = enunciado: argumento da função seno

NÃO CAIA NESSA!

Achar que o seno pode ser maior que 1 ou menor que -1, o que não acontece.

Passo 2 — Aplicar o coeficiente negativo

O -10 multiplica o seno. Como é negativo, ele inverte os extremos: o maior valor de -10·sen ocorre quando sen é -1, porque -10·(-1) = 10, que é maior que -10·1 = -10.

Por que esta fórmula: A função é N(t) = -10·sen(...) + 30. Para maximizar N, precisamos maximizar o termo -10·sen(...). Como o coeficiente é negativo, o máximo desse termo acontece no mínimo do seno.

Nmax=−10⋅(−1)+30N_{max} = -10 \cdot (-1) + 30

De onde vem cada valor: −10-10 = enunciado: coeficiente da função · −1-1 = passo 1: valor mínimo do seno · 3030 = enunciado: termo constante

Nmax=−10⋅(−1)+30=40N_{max} = -10 \cdot (-1) + 30 = \boxed{40}
NÃO CAIA NESSA!

Usar sen = 1 em vez de -1, o que daria N = 20. O sinal negativo inverte o raciocínio.

Passo 3 — Confirmar que o máximo é atingido

Não basta saber o valor máximo teórico; é preciso garantir que existe um dia t em que o seno realmente vale -1. Como t é um dia do mês, precisamos ver se a equação tem solução inteira entre 1 e 30.

Por que esta fórmula: O seno vale -1 quando o ângulo é 3π/2 + 2kπ. Igualamos o argumento a isso e resolvemos para t.

πt10=3π2+2kπ\frac{\pi t}{10} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi

De onde vem cada valor: πt10\frac{\pi t}{10} = enunciado: argumento do seno · 3π2\frac{3\pi}{2} = passo 1: ângulo em que sen = -1 · 2kπ2k\pi = passo 1: periodicidade do seno

πt10=3π2+2kπ\frac{\pi t}{10} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi
t=15 +20kt = \boxed{15\ + 20\text{k}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a periodicidade e achar que só existe um ângulo, perdendo a solução t = 15.

Passo 4 — Escolher o dia válido

A solução t = 15 + 20k precisa ser um dia do mês, ou seja, entre 1 e 30. Testamos valores de k para ver se algum serve.

Por que esta fórmula: Com k = 0, t = 15, que está no intervalo. Com k = 1, t = 35, que passa de 30. Então só o dia 15 serve.

t=15+20⋅0=15t = 15 + 20 \cdot 0 = 15

De onde vem cada valor: 1515 = passo 3: solução da equação · 2020 = passo 3: período em dias · 00 = passo 3: primeiro valor de k

t=15+20⋅0=15t = 15 + 20 \cdot 0 = 15
t=15t = \boxed{15}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que precisa de outro valor de k, mas k = 0 já resolve.

Resposta: 40 pacientes — alternativa E

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