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Questão de Matemática — Função Exponencial e Inequações Exponenciais — CESPE / CEBRASPE 2026

MatemáticaFunção Exponencial e Inequações Exponenciais
Código
ce387606
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UFAC
Ano
2026
Cargo
Vest ( )
Depois de adotados protocolos para se combater a contaminação por um determinado vírus em uma comunidade, constatou-se que a quantidade C de pessoas contaminadas na comunidade t dias após esse procedimento correspondia a C(t) = 1.400e^{-0,04} t, em que t \ge 0.   Nessa situação, considerando-se que ln(0,2) = −1,6 conclui-se que o tempo decorrido desde o instante inicial (t = 0) para que a quantidade de indivíduos contaminados seja igual a 20% da quantidade observada no referido instante é igual a
  1. A40 dias.
  2. B56 dias.
  3. C280 dias.
  4. D350 dias.
  5. E875 dias.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 40 dias.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 40 dias — alternativa A.

A ideia por trás

Uma função exponencial de decaimento descreve grandezas que diminuem a uma taxa proporcional ao seu valor atual — é o caso da quantidade de contaminados caindo com o tempo. A base e (≈ 2,718) é a base dos logaritmos naturais, e o expoente negativo faz o valor encolher: quanto maior o tempo, menor a quantidade. O valor inicial é obtido fazendo t = 0, pois e^0 = 1.

A equação que governa é C(t) = C₀ · e^(-kt), onde C₀ é a quantidade inicial, k é a taxa de decaimento (aqui 0,04 por dia) e t é o tempo. Quando o expoente é negativo, o resultado cai exponencialmente: dobrar o tempo não divide o valor pela metade, mas por um fator maior. Para resolver quando a grandeza atinge uma fração do valor inicial, o fator C₀ se cancela e sobra uma equação exponencial simples, que se resolve com o logaritmo natural, pois ln(e^x) = x.

Esta questão pede exatamente o instante em que a quantidade cai para 20% do valor inicial. O passo-chave é perceber que o fator 1400 se cancela, restando e^(-0,04t) = 0,2, e então usar o logaritmo natural fornecido para achar t.

O que a questão dá

  • função: C(t) = 1400 · e^(-0,04t)

  • t ≥ 0

  • ln(0,2) = -1,6 (dado no enunciado)

O que queremos: o tempo t em dias para que C(t) seja 20% de C(0)

Passo 1 — Calcular a quantidade inicial

Precisamos saber o valor de C(0) para depois calcular 20% dele. No instante inicial, t = 0, e qualquer número elevado a zero é 1, então a função se resume ao coeficiente 1400.

Por que esta fórmula: É a própria definição da função no ponto t = 0: C(0) = 1400 · e^0 = 1400 · 1 = 1400.

C(0)=1400⋅e0C(0) = 1400 \cdot e^{0}

De onde vem cada valor: 14001400 = enunciado: coeficiente da função · e0e^{0} = definição: e^0 = 1

C(0)=1400⋅1=1400 pessoasC(0) = 1400 \cdot 1 = \boxed{1400\ \text{pessoas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que e^0 = 1 e tentar calcular e^0 como algo diferente de 1.

Passo 2 — Determinar 20% da quantidade inicial

O problema pede o tempo em que a quantidade é 20% da inicial. Já temos o valor inicial, então agora calculamos esse alvo.

Por que esta fórmula: 20% é a fração 0,2; multiplicar o valor inicial por 0,2 dá o valor alvo.

Calvo=0,2⋅C(0)C_{alvo} = 0{,}2 \cdot C(0)

De onde vem cada valor: 0,20{,}2 = enunciado: 20% · C(0)C(0) = passo 1: 1400

Calvo=0,2⋅1400=280 pessoasC_{alvo} = 0{,}2 \cdot 1400 = \boxed{280\ \text{pessoas}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir 20% com 0,02 — isso daria 28, errando por um fator de 10.

Passo 3 — Montar a equação exponencial

Agora que sabemos o valor alvo, igualamos a função a ele. Isso cria a equação que vamos resolver para achar o tempo.

Por que esta fórmula: A função C(t) deve ser igual ao valor alvo; substituímos C(t) pela expressão dada.

1400 · e^-0,04t = 280

De onde vem cada valor: 14001400 = enunciado: coeficiente da função · e^-0,04t = enunciado: parte exponencial · 280280 = passo 2

1400 · e^-0,04t = 280
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de igualar a 280 e tentar resolver direto com 20%.

Passo 4 — Isolar a exponencial

Para resolver uma equação exponencial, precisamos deixar a exponencial sozinha de um lado. Dividir os dois lados por 1400 elimina o coeficiente.

Por que esta fórmula: Dividir ambos os lados por 1400 é a operação inversa da multiplicação; o 1400 se cancela.

e^-0,04t = (280)/(1400)

De onde vem cada valor: 280280 = passo 2 · 14001400 = passo 1

e^-0,04t = (280)/(1400)
e^-0,04t = 0,2
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar a fração e tentar trabalhar com 280/1400, o que complica a conta.

Passo 5 — Aplicar o logaritmo natural

A incógnita está no expoente; para trazê-la para baixo, usamos o logaritmo natural, que é a função inversa da exponencial: ln(e^x) = x.

Por que esta fórmula: Aplicar ln dos dois lados preserva a igualdade e simplifica o lado esquerdo para -0,04t.

ln(e^-0,04t) = ln(0,2)

De onde vem cada valor: e^-0,04t = passo 4 · 0,20{,}2 = passo 4

ln(e^-0,04t) = ln(0,2)
−0,04t=−1,6-0{,}04t = \boxed{-1{,}6}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que ln(e^x) = x e tentar aplicar outras propriedades.

Passo 6 — Isolar o tempo

Agora temos uma equação linear simples; dividimos ambos os lados por -0,04 para achar t.

Por que esta fórmula: Dividir por -0,04 é a operação inversa da multiplicação; os sinais negativos se cancelam.

t=−1,6−0,04t = \frac{-1{,}6}{-0{,}04}

De onde vem cada valor: −1,6-1{,}6 = passo 5 · −0,04-0{,}04 = passo 5

t=−1,6−0,04=40 diast = \frac{-1{,}6}{-0{,}04} = \boxed{40\ \text{dias}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal: como ambos são negativos, o resultado é positivo; inverter a divisão daria 0,025.

Resposta: 40 dias — alternativa A

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